2. Властивості збіжних послідовностей

Наведемо класичний приклад з геометрії, в якому використовується теорема Вейєрштрасса.

 

Візьмемо коло і будемо послідовно вписувати в неї правильні багатокутники:

$4$-кутник, $8$-кутник, $16$-кутник і т. д. Послідовність площ цих правильних багатокутників зростає і обмежена (знизу числом $0$,а зверху, наприклад, числом, що виражає площу описаного навколо кола квадрата).

 

Отже, побудована послідовність збіжна, її границя приймається за площу кола.

 

Саме за допомогою таких міркувань і отримана в математиці формула площі кола

$S=\mathrm{\pi }{r}^2$.