Теорія:

Розглянемо функцію, графік якої зображений на малюнку:

grafiks.bmp

 

Для заданого випадку границя функції y=f(x) при наближенні \(x\) до \(a\) дорівнює \(b\). Записують: limxaf(x)=b

Змістовне значення наведеного вище запису полягає в наступному:
якщо значення аргументу вибираються все ближче і ближче до значення \(x=a\), то значення функції все менше і менше відрізняються від граничного значення \(b\).

Можна сказати й так:
в досить малому окрузі точки \(a\) справедливо наближена рівність f(x)b (причому це наближена рівність тим точніша, чим менший округ вибирається).

При цьому, підкреслимо, сама точка \(x=a\) виключається з розгляду.

Функцію y=f(x) називають безперервною в точці \(x=a\), якщо виконується співвідношення:

limxaf(x)=f(a)

 Іншими словами, функцію  y=f(x) називають безперервною в точці \(x=a\), якщо границя функції y=f(x) при наближенні \(x\) до \(a\) дорівнює значенню функції в точці \(x=a\).

Функцію y=f(x) називають безперервною на проміжку \(X\), якщо вона неперервна в кожній точці проміжку.

Eсли вираз \(f(x)\) складено з раціональних, ірраціональних, тригонометричних і зворотних тригонометричних виразів, то функція y=f(x) неперервна в будь-якій точці, в якій визначено вираз \(f(x)\).

Джерела: