Знаходження точок екстремуму — урок. Алгебра, 10 клас.

Теорема 3. Якщо функція $y=f(x)$ має екстремум в точці $x = x_{0}$ , тоді в цій точці похідна функції або дорівнює нулю, або не існує.

Теорема 4 (достатні умови екстремуму). Нехай функція $y = f (x)$ неперервна на проміжку $X$ і має всередині проміжку стаціонарну або критичну точку $x = x_{0}$ . Тоді:

а ) якщо у цієї точки існує такий окіл, в якому при $x < x_{0}$ виконується нерівність $f' (x) < 0$ , а при $x > x_{0}$ — нерівність $f' (x) > 0$ , тоді $x = x_{0}$ — точка мінімуму функції $y = f (x)$ );

б ) якщо у цієї точки існує такий окіл, в якому при $x < x_{0}$ виконується нерівність $f' (x) > 0$ , а при $x > x_{0}$ — нерівність $f' (x) < 0$ , тоді $x = x_{0}$ — точка максимуму функції $y = f (x)$ ) ;

в) якщо у цієї точки існує такий окіл, що в ньому і ліворуч і праворуч від точки $x_{0}$ знаки похідної однакові, тоді в точці $x_{0}$ экстремума немає.

Для зручності домовимося внутрішні точки області визначення функції, в яких похідна функції дорівнює нулю, називати стаціонарними, а внутрішні точки області визначення функції, в яких функція неперервна, але похідна не існує, — критичними.

Отже, щоб визначити екстремуми (мінімуми і максимуми) функції $f (x)$ , спочатку потрібно знайти критичні точки, в яких $f' (x) = 0$ або ж похідна не існує (і які належать області визначення функції). Тоді легко визначити інтервали, в яких у похідної незмінний знак. (Критичні (стаціонарні) точки ділять реальну числову пряму на інтервали з незмінним знаком похідної. Щоб визначити знак похідної, достатньо обчислити значення похідної функції в будь-якій точці відповідного інтервалу).

Алгоритм дослідження неперервної функції $y = f (x)$ на монотонність і екстремуми:

1. знайти похідну $f' (x)$ .

2. знайти стаціонарні та критичні .

3. відзначити стаціонарні та критичні точки на числовій прямій і визначити знаки похідної на одержаних проміжках.

4. спираючись на теореми 1, 2 і 4, зробити висновки про монотонності функції і про її точки екстремуму.

Отже: якщо похідна функції в критичній точці:

1) змінює знак з від'ємного на додатний, тоді це точка локального мінімуму;
2) змінює знак з додатного на від'ємний, тоді це точка локального максимуму;
3) не змінює знак, тоді в цій точці немає екстремуму.

Приклад:

Знайти екстремуми функції

f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}

Похідна цієї функції -

f' (x) = \frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}

, отже, критичні точки функції, це $x=0$ і $x=2$. Точка $x=1$ не належить області визначення функції.

Вони ділять реальну числову пряму на чотири інтервали:

(- \infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; 2) \cup (2; + \infty)

. Знак першого інтервалу додатний (наприклад, $f(-1)=0.75$). Другого - від'ємний, третього - від'ємний, четвертий - додатний.

$(- \infty; 0)$	$(0; 1)$	$(1; 2)$	$(2; + \infty)$
+	-	-	+

Отже, похідна змінює знак тільки в точках $x=0$ і $x=2$.
У точці $x=0$ вона змінює знак з додатного на від'ємний, отже, це точка локального максимуму зі значенням функції $f(0)=0$.
У точці $x=2$ вона змінює знак з від'ємного на додатний, отже, це точка локального мінімуму зі значенням функції $f(2)=4$.

Попередня теорія

Повернутись до теми

Наступна теорія

Відправити відгук

Знайшли помилку?

Розкажіть нам!

2. Знаходження точок екстремуму

Теорія: