3. Обчислення площ та об'ємів за допомогою визначених інтегралів

Якщо на заданому відрізку $\left[a;b\right]$ неперервні функції $y=f_1(x)$ і $y=f_2(x)$ мають таку властивість, що $f_2(x)\ge f_1(x)$ для всіх $x\in \left[a;b\right]$, то

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left(f_2(x)-f_1(x)\right)\mathit{dx}$.

Виконаємо побудову та визначимо асциси точок перетину:

 

Якщо криволінійну трапецію, обмежену графіком неперервної та невід'ємної на відрізку $\left[a;b\right]$ функції \(f(x)\) і прямими \(x=a\) та \(x=b\) обертати навколо осі \(Ox\), то одержимо тіло, об'єм якого можна обчислити за формулою $V=\underset{a}{\overset{b}{\mathrm{\pi }\int }}{f}^2\left(x\right)\mathit{dx}$.

Також, якщо тіло обмежене двома перпендикулярними до осі \(Ox\) площинами, що проходять через точки  \(x=a\) та \(x=b\), то $V=\underset{a}{\overset{b}{\int S}}\left(x\right)\mathit{dx}$, де \(S(x)\) — площа перерізу тіла площиною, що проходить точкою $x\in \left[a;b\right]$ і перепендикулярно до осі \(Ox\).