Комбінації — урок. Алгебра, 11 клас.

Комбінацією із \(n\) елементів по \(m\) елементів

(m \leq n)

називається вибірка елементів \(m\) із даної невпорядкованої множини.

Кількість комбінацій позначається як

C_{n}^{m}

(читається: комбінації із \(n\) по \(m\)).

Комбінації обчислюються за формулою

C_{n}^{m} = \frac{n!}{m! (n - m)!}

Приклад:

1. Дано \(3\) елемента

a) Скількома способами можна вибрати \(2\) з них, якщо порядок неважливий?
Це можна зробити \(3\) способами —

;

, за формулою:

C_{3}^{2} = \frac{3!}{2! \cdot (3 - 2)!} = \frac{3 \cdot 2!}{2! \cdot 1!} = 3

b) Скількома способами можна вибрати \(1\) елемент, якщо порядок неважливий?
Це теж можна зробити \(3\) способами —

;

, за формулою:

C_{3}^{1} = \frac{3!}{1! \cdot (3 - 1)!} = \frac{3 \cdot 2!}{1! \cdot 2!} = 3

2. Скількома способами із \(12\) учнів можна вибрати \(3\) учнів?

Розв'язок:
Так як порядок вибору учнів неважливий, потрібно обчислити комбінації по \(3\) елемента з \(12\) елементів, тобто \(n = 12\) и \(m = 3\).

C_{12}^{3} = \frac{12!}{3! (12 - 3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{9! \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{3! \cdot 9!} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{1320}{6} = 220

Відповідь: трьох учнів з \(12\) можна вибрати \(220\) різними способами.

3. Із \(6\) людей (\(2\) жінок і \(4\) чоловіків) потрібно вибрати \(1\) жінку і \(2\) чоловіків. Скількома способами це можна зробити?

Розв'язок:

Так як порядок вибору неважливий (зрештою команда буде тією ж), потрібно обчислити, скількома способами з \(2\) жінок можна вибрати \(1\), а з \(4\) чоловіків двох.

\begin{array}{l} 6 люд . \\ ↙ ↘ \\ жін . 2 чол . 4 \\ ↓ ↓ \\ вибрати 1 2 \end{array}

Кількість комбінацій жінок (\(n = 2\) і \(m = 1\))

C_{2}^{1} = \frac{2!}{1! (2 - 1)!} = \frac{2!}{1! \cdot 1!} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 1} = \frac{2}{1} = 2

Кількість комбінацій чоловіків (\(n = 4\) і \(m = 2\))

C_{4}^{2} = \frac{4!}{2! (4 - 2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{2! \cdot 3 \cdot 4}{2! \cdot 2!} = \frac{3 \cdot 4}{1 \cdot 2} = \frac{12}{2} = 6

Щоб отримати відповідь, використовується закон множення:

C_{2}^{1} \cdot C_{4}^{2} = 2 \cdot 6 = 12

Відповідь: із даних людей \(1\) жінку і \(2\) чоловіків можна вибрати \(12\) різними способами.

4. Чотирьом гравцям доміно роздається \(28\) кісток порівну. Скількома різними способами можна розділити кістки доміно?

Розв'язок:

Першому гравцеві дати кістки можна

C_{28}^{7}

способами.

Другому гравцеві дати кістки можна

C_{21}^{7}

способами.

Третьому гравцеві дати кістки можна

C_{14}^{7}

способами.

Четвертому гравцеві дати кістки можна

C_{7}^{7} = 1

способом.

Всього кістки можна раздати

C_{28}^{7} \cdot C_{21}^{7} \cdot C_{14}^{7} \cdot C_{7}^{7}

способами.

Комбінації із \(n\) елементів по \(m\) елементів отримують, якщо з розміщень із \(n\) елементів по \(m\) елементів виключити ті вибірки, які відрізняються тільки порядком елементів.

C_{n}^{m} = \frac{A_{n}^{m}}{P_{m}}

Джерела:

Повернуться в тему

Наступна теорія

Відправити відгук

Знайшов помилку?

Розкажи нам!

1. Комбінації

Теорія: