У вазі лежать \(5\) яблук, \(4\) груші та \(3\) мандарини. Скільки існує способів взяти один фрукт із вази?
Якщо взяти яблуко, то існує \(5\) способів, якщо грушу — \(4,\) якщо мандарин — \(3.\) Отже, щоб узяти один фрукт зі всіх, що лежать у вазі, існує \(5 + 4 + 3 = 12\) способів.
Цей приклад можна узагальнити.
Припустимо, що є дві групи. В одній — \(k\) різних елементів, у другій — \(n\) різних елементів. Якщо з першої групи який-небудь елемент можна вибрати \(k\) способами, а з другої — \(n\) способами, то вибрати один елемент із першої або другої групи можна \(k + n\) способами.
Це називається законом додавання в комбінаториці. Закон додавання також використовується, якщо потрібно вибрати елемент із трьох, чотирьох груп і т. д.
Закон додавання використовується тоді, коли потрібно вибрати лише \(1\) елемент.
Щоб використовувати закон додавання, потрібно:
\(1.\) Визначити групи, з яких потрібно вибрати \(1\) елемент.
\(2.\) З'ясувати кількість елементів у кожній групі.
\(3.\) Переконатися, що в різних групах, із яких вибирають елемент, немає однакових елементів.
Приклад:
Вікторія повинна вибрати лише один десерт із \(8\) видів коктейлю, \(5\) видів морозива і \(5\) видів йогурту. Скількома способами вона може вибрати десерт?
Розв'язання
Використовується закон додавання, оскільки Вікторія повинна вибрати або коктейль, або морозиво, або йогурт.
\(8 + 5 + 5 = 18\)
Відповідь: Вікторія може вибрати десерт \(18\) способами.
Використовуючи закон додавання, потрібно стежити, щоб жоден зі способів вибору об'єкта \(a\) не збігався з яким-небудь способом вибору об'єкта \(b.\)
Якщо такі збіги є, то закон додавання втрачає силу, і ми отримуємо лише \((k + n - m)\) способів вибору, де \(m\) — кількість збігів.
Якщо такі збіги є, то закон додавання втрачає силу, і ми отримуємо лише \((k + n - m)\) способів вибору, де \(m\) — кількість збігів.
Отже:
Якщо об'єкт \(a\) можна отримати \(k\) способами, об'єкт \(b\) — \(n\) способами, то об'єкт \(a\) або \(b\) можна отримати \(k+n-m\) способами, де \(m\) — кількість способів, які повторюються.
Приклад:
У групі \(7\) осіб мають \(«5»\) із математики, \(9\) осіб — \(«5»\) із філософії. У сесії два іспити. Відомо, що чотири людини склали сесію на відмінно. Скільки людей мають хоча б одну п'ятірку в сесії?
Розв'язання: \(7+9-4=12\)
Розв'язання: \(7+9-4=12\)