Показникові нерівності — урок. Алгебра, 11 клас.

Показниковими нерівностями називають нерівності вигляду

a^{f (x)} > a^{g (x)} (<, \geq, \leq)

де

a

- додатне число, відмінне від

1

, і нерівності, що зводяться до цього вигляду.

Нерівності розв'язуються за допомогою властивості зростання або спадання показникової функції:

- для зростаючої функції більшому значенню функції відповідає більше значення аргументу

- для спадної функції більшому значенню функції відповідає меньше значення аргументу.

Показникова функція

y = a^{x}

зростає при

a > 1

і спадає при

0 < a < 1

Показникова нерівність

a^{f (x)} > a^{g (x)}

рівносильна нерівності того ж змісту

f (x) > g (x)

, якщо

a > 1

Приклад:

Розв'язати нерівність:

2^{2 x - 4} > 64

Маємо

2^{2 x - 4} > 2^{6}

Ця нерівність рівносильна нерівності того ж змісту

2 x - 4 > 6

, оскільки основа дорівнює 2>1 (

a > 1

звідки знаходимо

x > 5

Показникова нерівність

a^{f (x)} > a^{g (x)}

рівносильна нерівності протилежного змісту

f (x) < g (x)

, якщо

0 < a < 1

Приклад:

Розв'язати нерівність:

{(\frac{1}{3})}^{2 x - 3,5} < \frac{1}{\sqrt{3}}

Скориставшись тим, що

\frac{1}{\sqrt{3}} = {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}

, перепишемо задану нерівність у вигляді:

{(\frac{1}{3})}^{2 x - 3,5} < {(\frac{1}{3})}^{0,5}

Основою є число

0 < \frac{1}{3} < 1 .

Отже, розглянута нерівність рівносильна нерівності протилежного змісту

2 x - 3,5 > 0,5

звідки знаходимо

x > 2

Знайшли помилку?

1. Показникові нерівності