1. Рівняння та нерівності з параметром

Якщо рівняння fx;a=0 потрібно розв'язати відносно змінної \(x,\) а буквою \(a\) позначене довільне дійсне число, то fx;a=0 називають рівнянням із параметром \(a.\) 
 
Розв'язати рівняння з параметром — означає знайти всі значення параметрів, за яких дане рівняння має розв'язок.
За одних значень параметра рівняння не має коренів, за інших — має нескінченно багато коренів, за третіх — розв'язується за одними формулами, за четвертих — за іншими.
 
Усі ці випадки під час розв'язання потрібно враховувати.
 
Рівняння з параметром можуть бути як лінійними, так і нелінійними.
 
Аналогічно визначаються й нерівності з параметром.
Розв'язати нерівність із параметром — означає дослідити, яким буде розв'язок нерівності для всіх можливих значень параметра.
Розглянемо хід думок при розв'язанні деяких рівнянь і нерівностей із параметрами.
Приклад:
Розв'яжи рівняння (відносно \(x\)):
 
ax−1>3
 
Перетворюючи нерівність, отримаємо:
 
ax>4
 
Залежно від значення \(a,\) можливі три випадки розв'язання:
 
\(1)\) якщо \(a<0,\) то:
  
x<4a;x∈−∞;4a
 
\(2)\) якщо \(a=0,\) то x∈∅\(;\)
 
\(3)\) якщо \(a>0,\) то:
 
x>4a;x∈4a;+∞
Приклад:
Розв'яжи рівняння (відносно \(x\)):
 
2a⋅a−2⋅x=a−2
 
Розв'язуючи рівняння, можна помітити, що коефіцієнт при \(x\) може перетворитися на \(0\) за певного значення параметра \(a.\) Тому, залежно від значення \(a,\) можливі три випадки розв'язання:
  
\(1)\) якщо \(a=0,\) то рівняння набуде вигляду:
 
0⋅x=−2,x∈∅
 
\(2)\) якщо \(a=2,\) то рівняння набуде вигляду:
 
0⋅x=0,x∈ℝ
 
\(3)\) якщо a≠0,a≠2\(,\) то коефіцієнт при \(x\) відмінний від \(0\) і на цей коефіцієнт можна поділити обидві частини рівняння.

Отримаємо, що:

x=a−22a⋅a−2=12a
Попередня тема
Повернутись до теми
Наступне завдання
Copyright © 2024 МiйКлас