Заміна рівняння h(f(x))=h(g(x)) на рівняння f(x)=g(x)

Загальні методи розв'язання рівнянь

\(1.\) Заміна рівняння

h (f (x)) = h (g (x))

на рівняння

f (x) = g (x)

Цей метод застосовується при розв'язанні:

\(a)\) показникових рівнянь, коли від рівняння вигляду

a^{f (x)} = a^{g (x)} (a > 0, a \neq 1)

переходимо до рівняння

f (x) = g (x)

\(;\)

\(b)\) логарифмічних рівнянь, коли від рівняння вигляду

\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x) (f (x) > 0, g (x) > 0,)

переходимо до рівняння

f (x) = g (x)

\(;\)

\(c)\) ірраціональних рівнянь, коли від рівняння вигляду

\sqrt[n]{f (x)} = \sqrt[n]{g (x)}

переходимо до рівняння

f (x) = g (x)

\(.\)

Зверни увагу!

Цей метод можна застосовувати тільки в тому випадку, коли \(y=h(x)\) — монотонна функція, яка кожне своє значення приймає по одному разу.

Приклад:

Розв'яжи рівняння:

{(2 x + 3)}^{7} = {(5 x - 9)}^{7}

Оскільки функція

y = x^{7}

— зростаюча, можна перейти до рівняння:

2 x + 3 = 5 x - 9

Розв'язавши його, отримаємо, що \(x=4.\)

Зверни увагу!

Якщо \(y=h(x)\) — немонотонна функція, то зазначений метод застосовувати не можна, оскільки можлива втрата коренів.

Наприклад, не можна замінити рівняння

{(2 x + 3)}^{4} = {(5 x - 9)}^{4}

на рівняння

2 x + 3 = 5 x - 9

\(,\) коренем якого є \(x=4.\)

При такому переході «загубився» корінь

x = \frac{6}{7}

\(.\)

Причина в тому, що функція

y = x^{4}

— немонотонна.

Знайшли помилку?

1. Заміна рівняння h(f(x))=h(g(x)) на рівняння f(x)=g(x)