Піднесення кореня до натурального степеня

Властивості формулюються тільки для невід'ємних значень змінних, які знаходяться під знаками коренів.

Якщо \(a\) — невід'ємне, \(k\) — натуральне число і \(n\) — натуральне число, більше від \(1,\) то правильною є рівність:

{(\sqrt[n]{a})}^{k} = \sqrt[n]{a^{k}}

Щоб піднести корінь до натурального степеня, достатньо піднести до цього степеня підкореневий вираз.

Приклад:

{(\sqrt[11]{3})}^{2} = \sqrt[11]{3^{2}} = \sqrt[11]{9}

Якщо \(a\) — невід'ємне, то

{(\sqrt[n]{a})}^{n} = a

\(,\) а також

\sqrt[n]{a^{n}} = a

\(.\)

Приклад:

\(1.\) Обчисли:

\(a)\)

{(\sqrt[13]{0,5})}^{13}

\(;\)

\(b)\)

\sqrt[7]{25^{7}}

\(.\)

Розв'язання

\(a)\)

{(\sqrt[13]{0,5})}^{13} = 0,5

\(;\)

\(b)\)

\sqrt[7]{25^{7}} = 25

\(.\)

\(2.\) Спрости:

\sqrt{b^{6}}

Розв'язання

Зобразимо підкореневий вираз у другому степені

b^{6} = b^{3 \cdot 2} = {(b^{3})}^{2}

\(.\)

\sqrt{b^{6}} = \sqrt{b^{3 \cdot 2}} = \sqrt{{(b^{3})}^{2}} = b^{3}

\(3.\) Обчисли:

\sqrt[9]{5^{18}}

Розв'язання

Зобразимо підкореневий вираз у вигляді \(9\) степеня

5^{18} = 5^{2 \cdot 9} = {(5^{2})}^{9}

\(.\)

\sqrt[9]{5^{18}} = \sqrt[9]{5^{2 \cdot 9}} = \sqrt[9]{{(5^{2})}^{9}} = 5^{2} = 25

Знайшли помилку?

5. Піднесення кореня до натурального степеня