Формули скороченого множення — урок. Алгебра, 7 клас.

У деяких випадках множення многочленів можна виконати раціональніше (коротше), скориставшись формулами скороченого множення.

Потрібно запам'ятати три формули:

1. Формула квадрата суми:

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого і другого виразів плюс квадрат другого виразу:

\begin{array}{l} {(a + b)}^{2} = (a + b) \cdot (a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = \\ = a^{2} + ab + ba + b^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} \end{array}

2. Формула квадрата різниці:

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток першого і другого виразів плюс квадрат другого виразу:

\begin{array}{l} {(a - b)}^{2} = (a - b) \cdot (a - b) = a \cdot a + a \cdot (- b) - b \cdot a - b \cdot (- b) = \\ = a^{2} - ab - ba + b^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} \end{array}

3. Формула різниці квадратів:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

Різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів і їх суми:

\begin{array}{l} (a - b) (a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b = \\ {= a}^{2} + ab - ab - b^{2} = a^{2} - b^{2} \end{array}

Формула і приклад її застосування

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Приклад:

За формулою:

{(x + 3)}^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = x^{2} + 6 x + 9

Без формули (множення многочлена на многочлен):

\begin{array}{l} {(x + 3)}^{2} = (x + 3) \cdot (x + 3) = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 \cdot x + 3 \cdot 3 = \\ = x^{2} + 3 x + 3 x + 9 = x^{2} + 6 x + 9 \end{array}

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

Приклад:

За формулою:

{(x - 3)}^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = x^{2} - 6 x + 9

Без формули (множення многочлена на многочлен):

\begin{array}{l} {(x - 3)}^{2} = (x - 3) \cdot (x - 3) = x \cdot x + x \cdot (- 3) - 3 \cdot x - 3 \cdot (- 3) = \\ x^{2} - 3 x - 3 x + 9 = x^{2} - 6 x + 9 \end{array}

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

Приклад:

За формулою:

(x - 3) (x + 3) = x^{2} - 3^{2} = x^{2} - 9

Без формули (множення многочлена на многочлен):

(x - 3) (x + 3) = x \cdot x + x \cdot 3 - 3 \cdot x - 3 \cdot 3 = x^{2} + 3 x - 3 x - 9 = x^{2} - 9

Використовуючи формулу, отримати результат можна значно швидше.

Зверни увагу!

Перша й друга формули відрізняються тільки знаками:

{(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}

Знайшли помилку?

4. Формули скороченого множення