2. Метод виділення повного квадрата

$x^2+ 14x + 49 = 0$.

Тому додамо й віднімемо від многочлена $x^2+ 14x + 45$ число \(4\), щоб виділити повний квадрат:

 $\begin{array}{l}{x }^2+ 14x + 45+4-4 =0 \\ \left({x }^2+ 14x + 45+4\right)-4=0\\ \left({x }^2+ 14x + 49\right)-4=0\\ {\left(x+7\right)}^2-4=0\end{array}$

Застосуємо формулу різниці квадратів $a^2-b^2=\left(a-b\right)\cdot \left(a+b\right)$:

 $\begin{array}{l}{\left(x+7\right)}^2-2^2=0\\ ( x + 7 – 2 )\; ( x + 7 + 2 )\; = 0\\ ( x + 5 )\; ( x + 9 )\; = 0\\ x + 5 = 0 \; \; \; \; \; x + 9 = 0\\ x_1 =\; – 5 \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_2 =\; – 9\\ \end{array}$
Відповідь: \(– 9; – 5.\)

 

Розв'язати рівняння $x^2 - 6x - 7 = 0$

Розв'язання:
Виділимо в лівій частині повний квадрат.
Для застосування другої формули необхідно отримати вираз:

$x^2 - 6x +9 = 0$.
Після цього запишемо вираз $x^2 - 6x$ у такому вигляді: $x^2-6x =x^2-2\cdot x\cdot 3$.
В отриманому виразі перший доданок – квадрат числа \(x\), а другий – подвоєний добуток \(x\) на \(3\).
Щоб здобути повний квадрат, треба додати $3^2$.
Отже, додамо й віднімемо в лівій частині рівняння $3^2$, щоб виділити повний квадрат:

$\begin{array}{l}{x}^2 - 6x - 7 = x^2 - 2\cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2 - 7 =\; (x^2 - 2\cdot x \cdot 3 + 3^2 ) - 3^2 - 7 =\\ ={(x - 3)}^2 - 9 - 7 = {(x - 3)}^2 - 16.\end{array}$.

Підставимо в рівняння й застосуємо формулу $a^2-b^2=\left(a-b\right)\cdot \left(a+b\right)$:

$\begin{array}{l}{(x -3)}^2-16=0\\ {(x -3)}^2=16\\ \\ x -3=4x -3= -4\\ x=3+4x = 3-4\\ x_1=7x_2= -1\end{array}$
Відповідь:\(– 1; 7.\).