Розкладання многочлена на множники за допомогою формул скороченого множення

Многочлен можна розкласти на множники за допомогою формул скороченого множення, записаних у вигляді:

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

(різниця квадратів)

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

(різниця кубів)

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

(сума кубів)

a^{2} + 2 ab + b^{2} = {(a + b)}^{2}

(квадрат суми)

a^{2} - 2 ab + b^{2} = {(a - b)}^{2}

(квадрат різниці)

Зауважте, що в лівій частині два або три члени.
Розглянемо на прикладах.

Приклад:

Завдання 1. Розкласти на множники:

16 x^{2} - 9

Розв'язання:
Скористаємося формулою різниці квадратів:

16 x^{2} - 9 = (4 {x)}^{2} - 3^{2} = (4x - 3) (4x + 3)

Завдання 2. Розкласти на множники:

27 a^{3} - 8 b^{3}

Розв'язання:
Скористаємося формулою різниці кубів:

\begin{array}{l} 27 a^{3} - 8 b^{3} = {(3a)}^{3} - {(2 b)}^{3} = (3a - 2 b) ((3 {a)}^{2} + 3a \cdot 2 b + {(2 b)}^{2}) = \\ = (3a - 2 b) (9 a^{2} + 6ab + {4 b}^{2}) . \end{array}

Завдання 3. Розкласти на множники:

x^{12} + 27 y^{3}

.
Розв'язання:
Скористаємося формулою суми кубів:

\begin{array}{l} x^{12} + 27 y^{3} = {(x^{4})}^{3} + (3 {y)}^{3} = (x^{4} + 3 y) \cdot ({(x^{4})}^{2} - x^{4} \cdot 3 y + {(3 y)}^{2}) = \\ = (x^{4} + 3 y) (x^{8} - 3 x^{4} y + 9 y^{2}) . \end{array}

Завдання 4. Розкласти на множники:

a^{4} + 2 a^{2} + 1

Розв'язання:
Скористаємося формулою квадрата суми:

a^{4} + 2 a^{2} + 1 = {(a^{2})}^{2} + 1^{2} + 2 \cdot a^{2} \cdot 1 = {(a^{2} + 1)}^{2}

Завдання 5. Розкласти на множники:

g^{2} - 4 gp + 4 p^{2}

.
Розв'язання:
Скористаємося формулою квадрата різниці:

g^{2} - 4 gp + 4 p^{2} = g^{2} + {(2 p)}^{2} - 2 \cdot g \cdot 2 p = {(g - 2 p)}^{2}

Знайшли помилку?

1. Розкладання многочлена на множники за допомогою формул скороченого множення