2. Функція y=|x|

Побудову графіка, як звичайно в таких випадках, здійснимо «по шматочках». Спочатку побудуємо пряму \(y=x\) і виділимо її частину на промені $\left[0;\left.+\mathrm{\infty }\right)\right.$.

 

 

Потім побудуємо пряму \(y=-x\)  і виділимо її частину на відкритому промені $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$.

 

 

Нарешті, обидва «шматочки» зобразимо в одній системі координат; отримаємо графік функції \(y=|x|\).

 

 

Ми знаємо, що якщо $a\ge \mathrm{0,}\text{ то }\sqrt{a^2}=a$. А як бути, якщо \(a < 0\)?

 

Написати  $a\ge \mathrm{0,}\text{ то }\sqrt{a^2}=a$ в цьому випадку не можна, адже \(a < 0\) і вийде, що $\sqrt{a^2}<0$, а це невірно, оскільки значення квадратного кореня не може бути від'ємним.

 

Чому ж дорівнює вираз $\sqrt{a^2}$ при \(a < 0\)? За визначенням квадратного кореня у відповіді повинно вийти таке число, яке, по-перше, додатне і, по-друге, при піднесенні до квадрату дає підкореневе число, тобто $a^2$. Таким числом буде \(- a\). Дивись:

1. \(- a > 0\) (ще раз нагадаємо, що \(a\) — від'ємне число, значить, \(- a\) — додатне число);

 

Отже, $\sqrt{a^2}=\left\{\begin{array}{l}a,\text{якщо}a\ge 0\\ -a,\text{якщо}a<0\end{array}\right.$

 

Тобі нічого не нагадує конструкція, отримана в правій частині рівності? Згадай, адже точно так же визначається модуль числа \(a\): $\left|a\right|=\left\{\begin{array}{l}a,\text{якщо}a\ge 0\\ -a,\text{якщо}a<0\end{array}\right.$

 

Значить, $\sqrt{a^2}$ і \(| a |\) — одне і те ж.