Теорія:
Для будь-якого дійсного числа \(x\) можна обчислити \(|x|\), тобто можна казати про функцію \(y=|x|\).
Запишемо:
Побудову графіка, як звичайно в таких випадках, здійснимо «по шматочках». Спочатку побудуємо пряму \(y=x\) і виділимо її частину на промені .

Потім побудуємо пряму \(y=-x\) і виділимо її частину на відкритому промені .

Нарешті, обидва «шматочки» зобразимо в одній системі координат; отримаємо графік функції \(y=|x|\).

Тотожність
Ми знаємо, що якщо . А як бути, якщо \(a < 0\)?
Написати в цьому випадку не можна, адже \(a < 0\) і вийде, що , а це невірно, оскільки значення квадратного кореня не може бути від'ємним.
Чому ж дорівнює вираз при \(a < 0\)? За визначенням квадратного кореня у відповіді повинно вийти таке число, яке, по-перше, додатне і, по-друге, при піднесенні до квадрату дає підкореневе число, тобто . Таким числом буде \(- a\). Дивись:
1. \(- a > 0\) (ще раз нагадаємо, що \(a\) — від'ємне число, значить, \(- a\) — додатне число);
2.
Отже,
Тобі нічого не нагадує конструкція, отримана в правій частині рівності? Згадай, адже точно так же визначається модуль числа \(a\):
Значить, і \(| a |\) — одне і те ж.
В ролі \(a\) може виступати будь-який числовий або алгебраїчний вираз.
Зверни увагу!
Тим самим ми довели важливу тотожність: .
Джерела: