1. Деякі символи математичної мови

Якщо до натуральних чисел приєднати число \(0\) і всі цілі від'ємні числа: \(-1, -2, -3, -4, ..., \) — то вийде множина цілих чисел. Цю множину зазвичай позначають буквою $\mathrm{\mathbb{Z}}$.

Якщо до множини цілих чисел приєднати всі звичайні дроби: $\frac{1}{3},\frac{51}{52},-\frac{8}{5},...$ і т. д., — то вийде множина раціональних чисел. Цю множину зазвичай позначають буквою $\mathrm{\mathbb{Q}}$.

Множина $\mathrm{\mathbb{Q}}$ раціональних чисел — це множина, що складається з чисел виду $\frac{m}{n};-\frac{m}{n}$ (де \(m,n\) - натуральні числа) і числа \(0\).

Зрозуміло, що $\mathrm{\mathbb{N}}$ — частина множини $\mathrm{\mathbb{Z}}$, а  $\mathrm{\mathbb{Z}}$ — частина множини $\mathrm{\mathbb{Q}}$. Для опису цієї ситуації в математиці також є спеціальне позначення: $\mathrm{\mathbb{N}}\subset \mathrm{\mathbb{Z}};\mathrm{\mathbb{Z}}\subset \mathrm{\mathbb{Q}}$.

Математичний символ $\subset$ називають знаком включення (однієї множини в іншу).

Запис $x\in X$ означає, що \(x\) — один з елементів множини \(X\).

А запис $A\subset B$ означає, що множина \(A\) являє собою частину множини \(B\). Математики частіше кажуть так: \(A\) — підмножина множини \(B\).

Для запису про те, що елемент \(x\) не належить множині \(X\) або що множина \(A\) не є частиною (підмножиною) множини \(B\), використовують ті ж символи, але перекреслені косою рисою: $x\notin X,A\not\subset B$.

Наведемо кілька прикладів використання введених математичних символів для скорочення запису вірних математичних тверджень — їх називають також  істинними висловлюваннями.

Будь-яке раціональне число можна записати у вигляді кінцевого десяткового дробу або у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу:

$\begin{array}{l}\frac{7}{22}=\mathrm{0,3181818}...=\mathrm{0,3}(18)\\ 4=\mathrm{4,000}...=\mathrm{4,}(0)\\ \mathrm{7,3777}=\mathrm{7,37770000}...=\mathrm{7,3777}(0)\end{array}$

Вірно і зворотне: будь-який нескінченний десятковий періодичний дріб можна подати у вигляді звичайного дробу. Це значить, що будь-який нескінченний десятковий періодичний дріб є раціональним числом.

Покажемо на прикладі, як нескінченний десятковий періодичний дріб перетворюють в звичайний дріб.