Теорія:

Деякі символи математичної мови
Ти вже гарно ознайомлений із натуральними числами: \(1, 2, 3, 4...\).
Множину всіх натуральних чисел зазвичай позначають буквою .
 
Якщо до натуральних чисел приєднати число \(0\) та всі цілі від'ємні числа: \(-1,-2,-3,-4, ...,\) отримаємо множину цілих чисел. Цю множину зазвичай позначають буквою .
 
Якщо до множини цілих чисел приєднати всі звичайні дроби: 23;12;83 тощо, отримаємо множину раціональних чисел. Цю множину зазвичай позначають буквою .
 
Будь-яке ціле число \(m\) можна записати у вигляді дробу m1, тому правильним є твердження про те, що множина  раціональних чисел — це множина, що складається з чисел вигляду mn;mn, де \(m, n\) — натуральні числа, а також число \(0\).
Використовуючи введені позначення , , , слід пам'ятати:

1. Замість фрази «\(n\) — натуральне число» можна писати n (читається: «елемент \(n\) належить множині »).
 
2. Замість фрази «\(m\) — ціле число» можна писати m.
 
3. Замість фрази «\(r\) — раціональне число» можна писати r.
 
Зрозуміло, що  — частина множини , а  — частина множини . Для опису цієї ситуації в математиці також є спеціальне позначення: ,.
 
Зверни увагу!
Математичний символ  називають знаком належності (елемент належить множині).
Математичний символ  називають знаком включення (одна множина знаходиться в іншій).
У математиці запис xX означає, що \(x\) — один із елементів множини \(X\).
 
Запис AB означає, що множина \(A\) є частиною множини \(B\). Математики частіше кажуть так: \(A\) — підмножина множини \(B\).
 
Зверни увагу!
Множини в математиці зазвичай позначають великими буквами, а елементи множин — маленькими. 
А як записати, що елемент \(x\) не належить множині \(X\) або що множина \(A\) не є частиною (підмножиною) множини \(B\) ?
 
Для цього використовують ті самі символи, але перекреслені скісною рискою: xX;AB.
Раціональні числа як нескінченні десяткові періодичні дроби
Для всіх цих чисел можна використовувати спосіб запису, про який ідеться нижче.

Розглянемо, наприклад, ціле число \(5\), звичайний дріб 722 і десятковий дріб \(8,377\).
 
Ціле число \(5\) можна записати у вигляді нескінченного десяткового дробу: \(5,0000 ...\) Десятковий дріб \(8,377\) також можна записати у вигляді нескінченного десяткового дробу: \(8,377000 ...\) Для числа 722 скористаємося методом «ділення кутом»:
 
 scot.png
 
Як бачимо, починаючи з другої цифри після коми відбувається повторення тієї самої групи цифр: \(18, 18, 18, ...\). Отже, 722 \(= 0,3181818...\) . Коротше це записують так: \(0,3(18)\).
Повторювану групу цифр після коми називають періодом, а сам десятковий дріб — нескінченним десятковим періодичним дробом.
До речі, число \(5\) також можна зобразити у вигляді нескінченного десяткового дробу. Для цього потрібно в періоді записати число \(0\):
 
\(5 = 5,00000... = 5,(0)\).
 
Зверни увагу!
Взагалі, будь-яке раціональне число можна записати у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу.
Цей висновок зручний для теорії, але не надто зручний для практики. Адже, якщо в нас є кінцевий десятковий дріб \(8,377\), навіщо потрібен його запис у вигляді \(8,377 (0)\)?
 
Тож зазвичай говорять так: будь-яке раціональне число можна записати у вигляді кінцевого десяткового дробу або у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу.
 
Вище ми показали, як звичайний дріб зображають у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу. Правильним є і протилежне: будь-який нескінченний десятковий періодичний дріб можна подати у вигляді звичайного дробу.
Це означає, що будь-який нескінченний десятковий періодичний дріб є раціональним числом.