2. Властивості функції y=k/x та її графік

Ми розглянули функцію $y=\frac{k}{x}$ для випадку, коли \(k = 1\). Нехай тепер \(k\) — додатне число, відмінне від \(1\), наприклад \(k = 2\).

Розглянемо функцію $y=\frac{2}{x}$ та складемо таблицю значень цієї функції:

 

 

Побудуємо ці точки на координатній площині. Вони намічають деяку лінію, що складається з двох гілок. Проведемо її.

 

 

Тепер розглянемо випадок, коли \(k < 0\); нехай, наприклад, \(k = - 1\).

 

Побудуємо графік функції $y=\frac{1}{x}$ (тут \(k = - 1\)).

 

Графік функції \(y = -f(x)\) симетричний графіку функції \(y = f (x)\) щодо осі \(x\).

 

Зокрема, це означає, що графік функції \(y = - f (x)\) симетричний графіку функції \(y = f (x)\) щодо осі \(x\). 

 

Отже, графік функції $y=-\frac{1}{x}$ симетричний графіку $y=\frac{1}{x}$ відносно осі абсцис.

 

У такий спосіб ми отримаємо гіперболу, гілки якої розташовані в другому і четвертому координатних кутах.

 

 

Взагалі, графіком функції $y=\frac{k}{x}$, $k\ne 0$ є гіпербола, гілки якої розташовані в першому і третьому координатних кутах, якщо \(k > 0\), і в другому та четвертому координатних кутах, якщо \(k < 0\).

Зазвичай кажуть, що дві величини \(x\) і \(y\) обернено пропорційні, якщо вони пов'язані співвідношенням \(xy = k\) (де \(k\) — число, відмінне від \(0\)) або, що те ж саме, $y=\frac{k}{x}$.

Описуючи властивості цієї функції, ми будемо спиратися на її геометричну модель — гіперболу.

 

 

1. Область визначення функції складається зі всіх чисел, окрім \(x = 0\).

 

2. \(y > 0\), якщо \(x > 0\); \(y < 0\), якщо \(x < 0\).

 

3. Функція спадає на проміжках $\left(-\mathrm{\infty };0\right)\text{ і }\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

 

4. Функція необмежена ні знизу, ні зверху.

 

5. Функція не має ні найменшого, ні найбільшого значення.

6. Функція неперервна на проміжках $\left(-\mathrm{\infty };0\right)\text{ і }\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$ і зазнає розриву, якщо \(x = 0\).

 

7. Область значень — об'єднання двох відкритих променів $\left(-\mathrm{\infty };0\right)\cup \left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Описуючи властивості цієї функції, ми будемо спиратися на її геометричну модель — гіперболу.