Теорія:

Якщо в рівнянні змінна міститься під знаком квадратного кореня, то рівняння називають ірраціональним.
Іноді математична модель реальної ситуації є ірраціональним рівнянням. Тому нам слід навчитися розв'язувати хоча б найпростіші ірраціональні рівняння.
 
Розглянемо ірраціональне рівняння 2x+1=3.
 
Ця рівність, за визначенням квадратного кореня, означає, що 2x+1=32.
 
Фактично від заданого ірраціонального рівняння ми перейшли до раціонального рівняння \(2x + 1 = 9\), піднісши до квадрата обидві частини ірраціонального рівняння.
 
Зверни увагу!
Метод піднесення до квадрата обох частин рівняння — основний метод розв'язання ірраціональних рівнянь.
Утім, це зрозуміло, адже як інакше звільнитися від знака квадратного кореня?
 
З рівняння \(2x + 1 = 9\) знаходимо \(x = 4\). Це корінь як рівняння \(2x + 1 = 9\), так і заданого ірраціонального рівняння.
 
Метод піднесення до квадрата технічно нескладний, але іноді призводить до неприємностей.
 
Розглянемо, наприклад, ірраціональне рівняння 2x5=4x7.
 
Піднісши обидві його частини до квадрата, отримаємо 2x52=4x722x5=4x7
 
У результаті маємо: \(2x - 4x = -7 +5\);  \(x = 1\).
 
Але значення \(x = 1\), будучи коренем раціонального рівняння \(2x - 5 = 4x - 7\), не є коренем заданого ірраціонального рівняння. Чому? 
 
Підставивши \(1\) замість \(x\) в задане ірраціональне рівняння, отримаємо 3=3.
 
Як же можна говорити про виконання числової рівності, якщо і в лівій, і в правій його частинах містяться вирази, які не мають сенсу? 
 
У подібних випадках кажуть, що \(x = 1\) — сторонній корінь для заданого ірраціонального рівняння. Отже, задане ірраціональне рівняння не має коренів.
 
Сторонній корінь — не нове для тебе поняття. Сторонні корені вже траплялися під час розв'язання раціональних рівнянь. Виявити їх допомагає перевірка.
 
Для ірраціональних рівнянь перевірка є обов'язковим етапом розв'язання, який допомагає виявити сторонні корені, якщо вони є, та відкинути їх (зазвичай кажуть «відсіяти»).
 
Зверни увагу!
Отже, ірраціональне рівняння розв'язують методом піднесення обох його частин до квадрата. Розв'язавши отримане в результаті раціональне рівняння, треба обов'язково зробити перевірку, відсіявши можливі сторонні корені.
Приклад:
Розв'яжи рівняння: 5x16=x2

Піднесемо обидві частини рівняння 5x16=x2 до квадрата: 5x162=x22.
 
Перетворюємо та отримуємо:
 
5x16=x24x+4x2+9x20=0x29x+20=0x1=5;x2=4
 
Перевірка:

Підставивши \(x = 5\) у рівняння 5x16=x2, отримаємо правильну рівність 9=3.
 
Підставивши \(x = 4\) у рівняння 5x16=x2, отримаємо правильну рівність 4=2.
 
Отже, обидва знайдені значення — корені рівняння 5x16=x2.
Ти вже накопичив певний досвід у розв'язанні різних рівнянь: лінійних, квадратних, раціональних, ірраціональних. Тож знаєш, що під час розв'язання рівнянь виконують різні перетворення, наприклад:
  • член рівняння переносять із однієї частини рівняння до іншої з протилежним знаком;
     
  • обидві частини рівняння множать або ділять на те ж саме, відмінне від нуля число;
  • звільняють від знаменника, тобто заміняють рівняння pxqx=0 на рівняння \(р(x)=0\);
  • обидві частини рівняння підносять до квадрата.
 
Звісно, ти звернув увагу на те, що внаслідок деяких перетворень можуть з'явитися сторонні корені, тому доводиться бути пильним: перевіряти всі знайдені корені.
 
Спробуємо осмислити все це з теоретичного погляду. 
Два рівняння \(f (x) = g (x)\) і \(r(x) = s (x)\) називаються рівносильними, якщо вони мають однакові корені (або якщо обидва рівняння не мають коренів).
Зазвичай під час розв'язання рівняння намагаються замінити подане рівняння на більш просте, але рівносильне йому. Така заміна називається рівносильним перетворенням рівняння. 
 
Рівносильними перетвореннями рівняння є наступні перетворення:
 
1. Перенесення членів рівняння з однієї частини рівняння в іншу з протилежними знаками.
 
Наприклад, заміна рівняння \(2x + 5 = 7x - 8\) на рівняння \(2x - 7x = - 8 - 5\) є рівносильним перетворенням рівняння. Це означає, що рівняння \(2x + 5 = 7x -8\) і \(2x - 7x = -8 - 5\) —  рівносильні.
 
2. Множення або ділення обох частин рівняння на те ж саме, відмінне від нуля число.
 
Наприклад, заміна рівняння 0,5x20,3x=2 на рівняння 5x23x=20 (обидві частини помножили почленно на \(10\)) є рівносильним перетворенням рівняння.
 
Нерівносильними перетвореннями рівняння є наступні перетворення:
 
1. Звільнення від знаменників, що містять змінні.

Наприклад, заміна рівняння x2x2=4x2 на рівняння x2=4 є нерівносильним перетворенням рівняння.
 
Річ у тім, що рівняння x2=4 має два корені: \(2\) і \(- 2\), а заданому рівнянню значення \(x = 2\) задовольняти не може (знаменник перетворюється на нуль). У подібних випадках ми говоримо так: \(x = 2\) — сторонній корінь.
 
2. Піднесення обох частин рівняння до квадрата.
 
Зверни увагу!
Якщо в процесі розв'язання рівняння застосовувалося одне із зазначених нерівносильних перетворень, то всі знайдені корені потрібно перевірити шляхом підстановки у вихідне рівняння, оскільки серед них можуть опинитися сторонні корені.