Теорія:

Терміни «раціональне число» та «ірраціональне число» походять від латинського слова «ratio» — «розум» (буквальний переклад: раціональне число — розумне число, ірраціональне число — нерозумне число). 

Так говорять і в реальному житті: «він вчинив раціонально», тобто він вчинив розумно; «так діяти нераціонально» — так діяти нерозумно.

Ірраціональним числом називається нескінченний десятковий неперіодичний дріб.

Якщо натуральне число \(n\) не є точним квадратом, тобто nk2, де k, то n — ірраціональне число.

Приклад:

5=2,23606798...11=3,31662479...

Ірраціональні числа трапляються не лише при добуванні квадратного кореня, а й у багатьох інших випадках. У цьому ви неодноразово переконаєтеся в старших класах.

Якщо довжину будь-якого кола поділити на його діаметр, отримаємо ірраціональне число \(3,141592 ...\).

Для цього числа в математиці ввели спеціальне позначення — π (буква грецького алфавіту «пі»).

Версія походження цього поняття така: з літери π починається грецьке слово «периферія» — коло.

Ірраціональність числа π була доведена в \(1766\) р. німецьким математиком І. Ламбертом.


Отже:

1. Будь-яка арифметична операція над раціональними числами (крім ділення на \(0\)) дає в результаті раціональне число.

2. Арифметична операція над ірраціональними числами може дати в результаті як раціональне, так і ірраціональне число.

3. Якщо в арифметичній операції беруть участь раціональне та ірраціональне числа, то в результаті отримаємо ірраціональне число (крім множення та ділення на \(0\)).

4. Оскільки операція добування квадратного та кубічного кореня з додатного числа часто дає в результаті ірраціональні числа, то алгебраїчний вираз, у якому присутня операція добування квадратного та кубічного кореня зі змінної, прийнято називати ірраціональним виразом.