Теорія:

Натуральні числа — це числа, що використовуються для підрахунку предметів або вказівки порядкового номера того чи іншого предмета серед однорідних предметів.
Множину всіх натуральних чисел зазвичай позначають буквою .
Приклад:

\(1, 2, 3, 4, 5, ...\)

Якщо до натуральних чисел приєднати число \(0\) та всі цілі від'ємні числа: \(-1, -2, -3, -4, ..., \) отримаємо множину цілих чисел. Цю множину зазвичай позначають буквою .

Якщо до множини цілих чисел приєднати всі звичайні дроби (13,5152,85,...), отримаємо множину раціональних чисел. Цю множину зазвичай позначають буквою .

Множина  раціональних чисел — це множина, що складається з чисел вигляду mn;mn (де \(m,n\) — натуральні числа) та число \(0\).

Зрозуміло, що  — частина множини , а   — частина множини . Для опису цієї ситуації в математиці також є спеціальне позначення: ;.

kopas.png

Математичний символ  називається знаком включення (однієї множини до іншої).

Запис xX означає, що \(x\) — один із елементів множини \(X\).

Запис AB означає, що множина \(A\) є частиною множини \(B\). Математики частіше кажуть так: \(A\) — підмножина множини \(B\).

Для запису про те, що елемент \(x\) не належить множині \(X\) або що множина \(A\) не є частиною (підмножиною) множини \(B\), використовують ті ж самі символи, але перекреслені скісною рискою: xX,AB.

Наведемо кілька прикладів використання введених математичних символів для скорочення запису правильних математичних тверджень — їх називають також істинними виразами.

Приклад:

777521;61;32;8

Будь-яке раціональне число можна записати у вигляді кінцевого десяткового дробу або у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу:

722=0,3181818...=0,3(18)4=4,000...=4,(0)7,3777=7,37770000...=7,3777(0)


Правильно й протилежне: будь-який нескінченний десятковий періодичний дріб можна подати у вигляді звичайного дробу. Це означає, що будь-який нескінченний десятковий періодичний дріб є раціональним числом.

Покажемо на прикладі, як нескінченний десятковий періодичний дріб перетворюють на звичайний дріб.

Приклад:

1,(23)=12399=123991,5(23)=15235990=1518990=1259495