2. Розв'язання раціональних рівнянь методом введення нової змінної

Метод введення нової змінної тобі вже відомий, ми не раз їм користувалися. Покажемо на прикладах, як він застосовується при розв'язанні раціональних рівнянь.

Приклад:

Розв'яжи рівняння

x^{4} + x^{2} - 20 = 0

Введемо нову змінну

y = x^{2}

. Так як

x^{4} = {(x^{2})}^{2} = y^{2}

, то задане рівняння можна переписати у вигляді

y^{2} + y - 20 = 0

Це квадратне рівняння. Знаходимо корені даного рівняння:

\begin{array}{l} x_{1,2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{- 1 \pm 9}{2} \\ x_{1} = \frac{- 1 + 9}{2} = 4; x_{2} = \frac{- 1 - 9}{2} = - 5 \end{array}

Але

y = x^{2}

, значить, задача звелася до вирішення двох рівнянь:

\begin{array}{l} x^{2} = 4 \\ x^{2} = - 5 \end{array}

З першого рівняння знаходимо

x_{1,2} = \pm 2

, друге рівняння не має коренів.

Відповідь:

x_{1,2} = \pm 2

Рівняння виду

a x^{4} + b x^{2} + c = 0

називають біквадратним рівнянням («бі» — два, тобто як би «двічі квадратне» рівняння).

Щойно розв'язане рівняння було саме біквадратним.

Будь-яке біквадратне рівняння вирішується так само, як рівняння з раніше наведеного прикладу: вводять нову змінну

y = x^{2}

, розв'язують отримане квадратне рівняння щодо змінної \(y\), а потім повертаються до змінної \(x\).

У розглянутому прикладі метод введення нової змінної був, як люблять висловлюватися математики, адекватний ситуації, тобто добре їй відповідав.

Чому? Тому, що один і той же вираз явно зустрічався в записі рівняння кілька разів і був резон позначити цей вираз новою буквою. Але так буває не завжди, іноді нова змінна «проявляється» тільки в процесі перетворень. Саме такий варіант розглядається в наступному прикладі.

Приклад:

Розв'яжи рівняння