Розв'язання раціональних рівнянь методом введення нової змінної

Метод введення нової змінної тобі вже відомий, адже ми не раз ним користувалися.

Зараз покажемо на прикладах, як він застосовується під час розв'язання раціональних рівнянь.

Приклад:

Розв'яжи рівняння:

x^{4} + x^{2} - 20 = 0

Введемо нову змінну

y = x^{2}

. Оскільки

x^{4} = {(x^{2})}^{2} = y^{2}

, то подане рівняння можна записати у вигляді

y^{2} + y - 20 = 0

Це квадратне рівняння. Знайдемо корені рівняння:

\begin{array}{l} x_{1,2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{- 1 \pm 9}{2} \\ x_{1} = \frac{- 1 + 9}{2} = 4; x_{2} = \frac{- 1 - 9}{2} = - 5 \end{array}

Але

y = x^{2}

, отже, завдання звелося до розв'язання двох рівнянь:

\begin{array}{l} x^{2} = 4 \\ x^{2} = - 5 \end{array}

З першого рівняння знаходимо

x_{1,2} = \pm 2

, друге рівняння не має коренів.

Відповідь:

x_{1,2} = \pm 2

Рівняння вигляду

a x^{4} + b x^{2} + c = 0

називається біквадратним рівнянням («бі» — два, тобто ніби «двічі квадратне» рівняння).

Щойно розв'язане рівняння було саме біквадратним.

Будь-яке біквадратне рівняння розв'язується так само, як рівняння з вищенаведеного прикладу: вводять нову змінну

y = x^{2}

, розв'язують отримане квадратне рівняння щодо змінної \(y\), а потім повертаються до змінної \(x\).

У розгляненому прикладі метод введення нової змінної був, як люблять висловлюватися математики, адекватний ситуації, тобто добре їй відповідав.

Чому? Тому що один і той же вираз зустрічався в записі рівняння декілька разів. Отже, був сенс позначити цей вираз новою буквою. Але так буває не завжди, іноді нова змінна «проявляється» лише в процесі перетворень. Саме такий варіант розглядається в наступному прикладі.

Приклад:

Розв'яжи рівняння: