1. Теорема Вієта

Теорія:

За допомогою цієї теореми розв'язуються квадратні рівняння.
Зазвичай теорема Вієта використовується для вирішення приведених квадратних рівнянь, тобто якщо коефіцієнт \(a = 1\).
  x2+px+q=0,тодіx1⋅x2=qx1+x2=−p
 
Приклад:
Розв'яжи рівняння.
x2−14x+40=0,x1⋅x2=40x1+x2=14x1=10,x2=4
 
Для повного квадратного рівняння, в якому \(a\)≠\(1\),  теж застосовна теорема Вієта.
 
ax2+bx+c=0|:aaax2+bax+ca=0⇒x2+bax+ca=0x1⋅x2=cax1+x2=−ba,деx1іx2−корені
 
Приклад:
 Знайди корені рівняння за допомогою теореми Вієта.
 
 12x2+x−1=01212x2+112x−112=0⇒x2+112x−112=0x1⋅x2=−112x1+x2=−112x1=−13x2=14 
 
Якщо за допомогою теореми Вієта важко знайти корені, то їх можна знайти іншими способами, а за допомогою теореми Вієта перевірити, чи правильно вони знайдені.
 
2x2+0,8x−0,1=0D=b2−4ac=0,82−4⋅2⋅−0,1=1,44x1=−b+D2a=−0,8+1,22⋅2=0,1x2=−b−D2a=−0,8−1,22⋅2=−0,5
Перевірка:
2x2+0,8x−0,1=0|:2x2+0,4x−0,05=00,1⋅−0,5=−0,050,1−0,5=−0,4
 
Якщо повна перевірка коренів викликає складнощі, потрібно перевірити хоча б правильність знаків коренів. В даному прикладі видно, що біля коренів повинні бути різні знаки, так як \(c<0\).
 
За допомогою теореми Вієта можна скласти квадратне рівняння, якщо відомі його корені.
 
Приклад:
Якому квадратному рівнянню належать корені \(2\) і \(-0,3\)?
 
x2+px+q=02+(−0,3)=1,7=−p,томуp=−1,72⋅(−0,3)=−0,6=qx2−1,7x−0,6=0
 
* Франсуа Вієт (1540 -1603) — французький математик. За освітою юрист.
 
Повернуться в тему
Наступна теорія
Copyright © 2018 МiйКлас