Теорія:

Раціональний вираз — це алгебраїчний вираз, складений із чисел та змінної \(x\) за допомогою операцій додавання, віднімання, множення, ділення та піднесення до степеня з натуральним показником.
Якщо \(r(x)\) — раціональний вираз, то рівняння \(r(x)=0\) називають раціональним рівнянням.
Утім, на практиці зручніше користуватися дещо ширшим тлумаченням терміну «раціональне рівняння». Таким рівнянням вважається рівняння вигляду \(h(x)=q(x)\), де \(h(x)\) і \(q(x)\) — раціональні вирази.
 
Досі ми могли розв'язати не будь-яке раціональне рівняння, а лише те, яке внаслідок різних перетворень і міркувань зводилося до лінійного рівняння.
 
Тепер наші можливості значно більші. Ми зможемо розв'язати раціональне рівняння, яке зводиться не тільки до лінійного, а й до квадратного рівняння.
 
Нагадаємо, як саме ми розв'язували раціональні рівняння раніше, і спробуємо сформулювати алгоритм розв'язання.
Приклад:
Розв'язати рівняння: 2xx3+112=3x
 
Перепишемо рівняння у вигляді 2xx3+1123x=0
 
При цьому, як і зазвичай, ми користуємося тим, що рівності \(A=B\) і \(A-B=0\) виражають ту ж саму залежність між \(A\) і \(B\). Це дозволяє нам перенести член 3x у ліву частину рівняння з протилежним знаком.
 
Виконаємо перетворення лівої частини рівняння. Маємо:
 
2x(2xx3+11(x(x3)23(2(x3)x=2x2x+11xx36x32xx3=4x2+11x233x6x+182xx3=15x239x+182xx3=35x213x+62xx3
 
Отже, ми перетворили задане рівняння до вигляду 35x213x+62xx3=0
 
Пригадаймо, за яких умов дріб дорівнює нулю.
 
Зверни увагу!
ab=0 тоді й тільки тоді, коли одночасно виконуються два співвідношення:
 
1. Чисельник дробу дорівнює нулю: \(а=0\)
2. Знаменник дробу відмінний від нуля: b0
Прирівнявши до нуля чисельник дробу в лівій частині рівняння, отримаємо:
 
35x213x+6=05x213x+6=0x1,2=13±13245610=13±16912010=13±710x1=13+710=2;x2=13710=35=0,6

Залишилося перевірити виконання другої вищезазначеної умови. Співвідношення b0 означає для рівняння, що 2xx30x0;x3
 
Значення x1=2;x2=0,6 задовольняють зазначеним співвідношенням, тому слугують коренями рівняння.
 
Відповідь: \(2; 0,6\).
Серед коренів чисельника може виявитися число, з яким знаменник дробу перетворюється на нуль. Таке число не може бути коренем рівняння. Його називають стороннім коренем та не зазначають у відповіді.
Спираючись на розв'язаний приклад, сформулюємо наступний алгоритм.
Алгоритм розв'язання раціонального рівняння
1. Перенести всі члени рівняння в одну частину.
 
2. Перетворити цю частину рівняння до вигляду алгебраїчного дробу p(x)q(x).
 
3. Розв'язати рівняння \(p(x)=0\).
 
4. Для кожного кореня рівняння \(p(x)=0\) зробити перевірку: чи задовольняє він умову qx0. Якщо задовольняє, то це корінь заданого рівняння; якщо ні, то це сторонній корінь, і у відповіді його зазначати не потрібно.