Теорія:

Використовуючи закон множення, часто потрібно обчислити добутки натуральних чисел по черзі, починаючи з \(1\).
Наприклад, 1234567 і т. д. Не завжди важливо обчислити числовий добуток. Щоб можна було коротше записати вирази такого виду, в математиці використовується знак "\(!\)".
Добуток всіх натуральних чисел від 1 до \(n\) називається факторіалом числа n і записується n! (читається як "ен факторіал»).
n!=123...n2n1n
Прийнято, що \(0! = 1\)  
1!=1
2!=21=2
3!=321=6
4!=4321=24
5!=54321=120
6!=654321=720
 
Приклад:
1. Обчисли значення виразу.
a) 5!+4!=54321+4321=120+24=144
 
b) 7!5!4!=7654!54!4!=54!(421)4!=541=205  (\(4!\) виноситься за дужки. У дробі рівні факторіали можна скорочувати.)
  
c) 80!79!+59!58!=8079!79!+5958!58!=80+59=139
 
Кожен більший факторіал можна виразити меншим факторіалом, тобто,
\(n! = n(n-1)! = n(n-1)(n-2)! = n(n-1)(n-2)(n-3)!\) і т.д.
 
Приклад:
2. Скороти дріб.
(n+1)!(n1)!=(n+1)n(n1)!(n1)!=(n+1)n(n1)!(n1)!=(n+1)n
 
 
3. Спрости вираз.
 n+2(n1)!2n+3n!=n+2\n(n1)!2n+3n(n1)!=n2+2n2n3n(n1)!=n23n!
 
При збільшенні значення \(n\), значення \(n!\) Стрімко зростає. Знак факторіала зручно використовувати, якщо потрібно записувати великі числа.
 
Приклад:
Скількома різними способами можна скласти список учнів, якщо в ньому має бути \(25\) різних учнів?
 
123...2425=25!
 
Відповідь: Список можна скласти \(25!\) Різними способами.
Джерела: