Теорія:

Одне з визначень компланарних векторів каже:
Вектори, які паралельні одній площині або лежать на одній площині, називаються компланарними векторами.
Той же сенс має й інше визначення:
Три вектори називаються компланарними, якщо вони, будучи приведеними до спільного початку, лежать в одній площині.
Зверни увагу!
Завжди можливо знайти площину, паралельну двом довільним векторам, тому будь-які два вектори завжди компланарні.
Якщо з трьох векторів два колінеарні, то очевидно, що ці три вектори компланарні.
Vektoru_veidi.png
 
Усі вищезазначені випадки легко розглянути, якщо розмістити вектори на ребрах паралелепіпеда.
 
1. Будь-які два вектори знаходяться в одній площині, але в одній площині можна розмістити і вектори AA1, CC1 і AD, тобто ці вектори компланарні. 
Також компланарні вектори AA1, AB і CC1, так як два з цих векторів паралельні. Легко уявити, що якщо привести їх до спільного початку, то вектор CC1 співпаде з вектором AA1.
 
2. Наприклад, вектори AB, AD і AA1 не компланарні, так як їх не можна розмістити в одній і тій же площині.

Ознака компланарності трьох векторів:
Нехай вектори a і b не колінеарні. Якщо для вектора c існує єдина пара дійсних чисел \(x\) і \(y\), така, щоc=xa+yb, то вектори a, b і c 
компланарні.
Справедливо і зворотне твердження:
Якщо три вектори a, b і c компланарні і вектори a і b не колінеарні, то вектор c можна розкласти за векторами a і b одним єдиним чином.
 
Komplanari_vekt.png
 
Якщо розкласти вектор AC за векторами AA1 і AA2,  то це можна зробити одним єдиним чином AC=AB+AD=xAA1+yAA2 
 
Закон паралелепіпеда
Якщо три вектори не компланарні, то для їх складання в просторі застосовує закон паралелепіпеда.
 
1. Вектори зводять до спільного початку \(A\);
Vektoru_sask1.png
 
2. На цих трьох ребрах будують паралелепіпед;
3. Діагональ паралелепіпеда, яка виходить з цієї ж точки, зображує суми векторів AB, AD і AA1 
Vektoru_sask.png 
 
Розкладання вектора за трьома не компланарними векторами
Теорема про розкладання за базисом в просторі.
Будь-який вектор d можна розкласти за трьома даними не компланарними векторами ab і c, причому реальні коефіцієнти розкладання \(x\), \(y\) і \(z\) визначаються єдиним чином: AC1=AD+AB+AA1=xAA2+yAA3+zAA4 
Vektoru_izt.png
 
 
Джерела: