Теорема Піфагора — урок. Геометрія, 8 клас.

Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на його катетах.

Одна з найвідоміших геометричних теорем — теорема Піфагора, знаменитого давньогрецького філософа і математика.

В історії математики знаходимо твердження, що цю теорему знали за багато років до Піфагора, наприклад, стародавні єгиптяни знали про те, що трикутник зі сторонами \(3\), \(4\) і \(5\) є прямокутним.

У наш час теорема звучить так (маючи на увазі не тільки площі, але і довжини сторін прямокутного трикутника):

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Відомо дуже багато доведень теореми з різними математичними методами, але одні з найбільш наочних пов'язані з площами.

1. Побудуємо квадрат, сторона якого дорівнює сумі катетів даного трикутника

a + b

. Площа квадрата дорівнює

{(a + b)}^{2}

2. Якщо провести гіпотенузи \(c\), очевидно, що вони утворили квадрат всередині побудованого квадрата.

Сторони чотирикутника дорівнюють \(c\), а кути — прямі, оскільки гострі кути прямокутного трикутника в сумі дають

90 °

, тоді кут чотирикутника також дорівнює

90 °

, тому що разом всі три кута дають

180 °

Отже, площа квадрата складається з чотирьох площ рівних прямокутних трикутників і площі квадрата, утвореного гіпотенузами:

3. На двох сторонах квадрата змінимо місцями відрізки \(a\) і \(b\), при цьому довжина сторони квадрата не змінюється.
Тепер площу квадрата можемо скласти з двох площ квадратів, утворених катетами \(a\) і \(b\) і двох площ прямокутників:

4. З цього випливають висновки:

4 \cdot \frac{ab}{2} = 2 ab

c^{2} = a^{2} + b^{2}

, що і є одним із доведень теореми Піфагора.

Зверни увагу!

Якщо знаходимо довжину гіпотенузи \(c\), тоді виконуємо додавання квадратів довжин катетів \(a\) і \(b\) і визначаємо квадратний корінь:

\begin{array}{l} c^{2} = a^{2} + b^{2} \\ c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \end{array}

Якщо знаходимо довжину одного катета, тоді виконуємо віднімання довжини квадрата іншого катета з квадрата довжини гіпотенузи і визначаємо квадратний корінь: