1. Рівняння кола і прямої

Рівняння кола
Використаємо два відомих факти і виведемо рівняння кола:
\(1.\) Усі точки кола розташовані на даній відстані (радіус) від даної точки (центр).
 
\(2.\) Ми маємо формулу для розрахунку відстані між двома точками, якщо знаємо координати точок AB=xA−xB2+yA−yB2\(,\) а якщо так, то квадрат відстані:
 
AB2=xA−xB2+yA−yB2
Rl_vdj.png
 
Припустимо, що центр кола розташовується в точці CxC;yC\(,\) а радіус кола дорівнює \(R.\)
 
Будь-яка точка Px;y на цьому колі розташована на відстані \(R\) від центру \(C,\) отже правильною є рівність:
 
x−xC2+y−yC2=R2
 
Це і є рівняння кола з центром \(C\) і радіусом \(R.\) Координати всіх точок, які розташовані на колі, задовольняють рівняння.
 
Якщо центр кола розташований на початку координат 0;0\(,\) то рівняння має наступний вигляд:
 
x2+y2=R2
Загальне рівняння прямої
Для виведення рівняння прямої проведемо цю пряму як серединний перпендикуляр деякого відрізка з даними координатами кінцевих точок відрізка.
Відомо, що всі точки серединного перпендикуляра розташовані на рівних відстанях від кінців відрізка.
Taisnes_vdj.png
 
Координати кінців відрізка: AxA;yA і BxB;yB
 
Будь-яка точка Px;y розташовується на рівних відстанях від кінцевих точок PA=PB\(.\)
 
Звісно, рівні й квадрати відстаней PA2=PB2\(,\) тож правильною є рівність
x−xA2+y−yA2=x−xB2+y−yB2\(,\) яка і є рівнянням прямої.  
 
Після зведення виразів у дужках і зведення подібних доданків:
 
x2−2⋅x⋅xA+xA2+y2−2⋅y⋅yA+yA2=x2−2⋅x⋅xB+xB2+y2−2⋅y⋅yB+yB22⋅x⋅xB−2⋅x⋅xA+2⋅y⋅yB−2⋅y⋅yA+xA2−xB2+yA2−yB2=02xB−2xA⋅x+2yB−2yA⋅y+xA2−xB2+yA2−yB2=0
 
рівняння матиме такий вигляд:
 
ax+by+c=0a=2xB−xAb=2yB−yAc=xA2−xB2+yA2−yB2
Рівняння прямої у прямокутній системі координат має вигляд ax+by+c=0, де \(a\), \(b\), \(c\) — числа, причому \(a\) і \(b\) одночано не дорівнюють нулю.
Рівняння ax+by+c=0 ще називають загальним рівнянням прямої.
Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
Складемо рівняння прямої, що проходить через точки A(x;y) і B(x;y) та складається за пропорцією різниць відповідних координат.
Воно має вигляд:
 
x−xAxB−xA=y−yAyB−yA, якщо xA≠xB,yA≠yB.
 
Дану формулу ще називають канонічним рівнянням прямої.
 
Розглянемо на прикладі, як скласти рівняння прямої, що проходить через точки \(A(3;4)\) та \(B(8;10)\).
 
Розвязання: Використовуючи канонічне рівняння, маємо:
 
x−38−3=y−410−4⇒x−35=y−46
 
звідки 6(x−3)=5(y−4),6x−18=5y−20⇒6x−5y+2=0.
 
З отриманого рівняння прямої, можна визначити запис рівняння прямої з кутовим коефіціентом:
 
 −5y=−6x−2,y=65x+25⇒y=1,2x+0,4.
Особливі прямі
Taisnes_vert_horz_vdj.png
 
\(1.\) Пряма проходить через деяку точку на осі \(Ox\) з координатами AxA;0\(.\)
 
Для будь-якої точки на цій прямій x=xA\(.\) Це і є рівняння прямої.
Оскільки вісь \(Oy\) проходить через початок координат, то рівнянням осі \(Oy\) є x=0\(.\)
\(2.\) Пряма проходить через деяку точку на осі \(Oy\) з координатами B0;yB\(.\)
 
Для будь-якої точки на цій прямій y=yB\(,\) це і є рівняння прямої.
Оскільки вісь \(Ox\) проходить через початок координат, то рівнянням осі \(Ox\) є y=0\(.\)
Попередня тема
Повернутись до теми
Наступне завдання
Copyright © 2024 МiйКлас