Теорія:

Задача 1 (швидкість руху). По прямій, на якій задані початок відліку, одиниця виміру (метр) і напрям, рухається деяке тіло (матеріальна точка). Закон руху задане формулою \(s=s(t)\), де \(t\) - час (у секундах), \(s(t)\) - положення тіла на прямій (координата рухомої матеріальної точки) в момент часу \(t\) по відношенню до початку відліку (в метрах). Знайти швидкість руху тіла в момент часу \(t\) (в \(м/с\)).

Розв'язання . Припустимо, що в момент часу \(t\) тіло перебувало в точці \(M\).

1 uzd..bmp

Дамо аргументу \(t\) приріст Δt і розглянемо ситуацію в момент часу t+Δt. Координата матеріальної точки стане іншою, тіло в цей момент буде знаходитися в точці P:OP=st+Δt.

 Отже, за Δt секунд тіло перемістилося з точки \(M\) в точку \(P\). Маємо: MP=OPOM=st+Δts(t). Отриману різницю ми назвали приростом функції: st+Δts(t)=Δs. Тож, MP=Δs(м). Неважко знайти середню швидкість vср руху тіла за проміжок часу t;t+Δt: vср=ΔsΔt \((м/с)\).

 А що таке швидкість \(v(t)\) в момент часу \(t\) (її називають миттєвою швидкістю)? Можна сказати так: це середня швидкість руху за проміжок часу t;t+Δt за умови, що Δt обирається все менше і менше; точніше: за умови, що Δt0. Це означає, що v(t)=limΔt0vср.

Отже,

v=limΔt0ΔsΔt

Задача 2 (дотична до графіка функції). Дан графік функції \(y=f(x)\). На ньому обрана точка \(M (a; f(a))\), в цій точці до графіка функції проведена дотична (ми припускаємо, що вона існує). Знайти кутовий коефіцієнт дотичної.

2.uzd.05.T.bmp

Розв'язання. Дамо аргументу приріст Δx і розглянемо на графіку точку \(P\) з абсцисою a+Δx. Ордината точки \(P\) дорівнює fa+Δx. Кутовий коефіцієнт січної \(MP\), тобто тангенс кута між січною і віссю \(x\), обчислюється за формулою kсек=ΔyΔx.

Якщо ми тепер спрямуємо Δx до нуля, тоді точка \(P\) почне наближатися по кривій до точки \(M\). Дотичну ми охарактеризували, як граничне положення січної при цьому наближенні. Отже, можна вважати, що кутовий коефіцієнт дотичної kкас=limΔx0kсек буде обчислюватися за формулою kкас=limΔx0kсек. Використовуючи наведену вище формулу для kсек, отримуємо:

kкас=limΔx0ΔyΔx