Теорія:

Розташуємо числове коло в координатної площини так, щоб центр кола зійшовся з початком координат, а його радіус приймаємо за одиничний відрізок.
Початкова точка числового кола \(A\) поєднана з точкою \((1;0)\).
 
един окр.31.png
 
Кожна точка числового кола має в координатної площини свої координати.
 
Знайдемо спочатку координати тих точок координатної площини, які отримані на макетах числового кола.
един окр.6.png
Точка Mπ4 середина \(I\) чверті.
Опустимо перпендикуляр \(MP\) на пряму \(OA\) і розглянемо трикутник \(OMP\).
Оскільки дуга \(AM\) утворює половину дуги \(AB\), тоді MOP=45° 
 
Отже, трикутник \(OMP\) - рівнобедрений прямокутний трикутник і \(OP = MP\), тобто у точки \(M\) абсциса і ордината рівні: \(x = y\).
 
Оскільки координати точки \(M (x; y)\) задовольняють рівняння числового кола x2+y2=1,
тоді для їх знаходження потрібно розв'язати систему рівнянь:
x2+y2=1x=y 
 
Підставивши \(x\) замість \(y\) в перше рівняння системи, отримаємо:
 
x2+x2=12x2=1x2=12x=12=22y=x=22
 
При розв'язанні враховуємо, що абсциса точки \(M\) додатна.
Отримали, що координати точки \(M\), яка відповідає числу π4, будуть   Mπ4=M22;22
Аналогічно можна отримати координати і інших точок першого макета числового кола, враховуючи тільки знаки координат в кожній чверті.
Отримані результати запишемо в таблицю:
Точка кола.
 
\(0\)
π4
π2
3π4
π
5π4
3π2
7π4
2π
Абсциса \(x\)
\(1\)
22
\(0\)
22
\(-1\)
22
\(0\)
22
\(1\)
Ордината \(y\)
\(0\)
22
\(1\)
22
\(0\)
22
\(-1\)
22
\(0\)
 
Міркуємо аналогічно для точки \(M\), якщо тепер вона відповідає числу π6.
 
един окр.5.png
Трикутник \(MOP\) прямокутний. Так як дуга \(AM\) складає третю частину дуги \(AB\), то MOP=30°.
 
Катет \(MP\) лежить проти кута \(30\) градусів в прямокутному трикутнику, отже, дорівнює половині гіпотенузи, тобто ордината точки \(M\) дорівнює
 MP=12y=12
 
Абсцису \(x\) точки \(M\) знайдемо, розв'язавши рівняння:
 
x2+y2=1
x2=1122=114=34x=32
 
При розв'язанні враховуємо, що абсциса точки \(M\) додатна.
Отримали, що координати точки \(M\), яка відповідає числу π6, будуть  Mπ6=M32;12  
Аналогічно можна отримати координати і інших точок другого макета числового кола, враховуючи тільки знаки координат в кожній чверті.
Отримані результати запишемо в таблицю:
Точка кола.
 
π6
π3
2π3
5π6
7π6
4π3
5π3
11π6
Абсциса \(x\)
32
12
12
32
32
12
12
32
Ордината \(y\)
12
32
32
12
12
32
32
12