Розглянемо випробування, в якому ймовірність настання випадкової події A дорівнює P (A).

Зверни увагу!

Нам відома формула P(A)+P(A¯)=1, де A¯ — подія, протилежна події A.

Отже, P(A¯)=1P(A). Будемо розглядати вихідне випробування як випробування лише з двома можливими наслідками: один полягає в тому, що подія A відбудеться, а інший — у тому, що подія A не відбудеться, тобто відбудеться подія A¯.

Для стислості назвемо перший наслідок (настання події A) «успіхом», а другий наслідок (настання події A¯) — «невдачею». Ймовірність «успіху» позначимо P(A)=p, а ймовірність «невдачі» — q;q=P(A¯)=1P(A)=1p.

Схема Бернуллі

Розглядають n незалежних повторень одного й того самого випробування з двома можливими наслідками: «успіхом» і «невдачею». Ймовірність «успіху» дорівнює p, а ймовірність «невдачі» дорівнює q, p+q=1. Потрібно знайти ймовірність Pn(k) того, що в цих n повтореннях відбудеться рівно k «успіхів».

При n незалежних повтореннях одного й того самого випробування з двома можливими наслідками більш коротко говорять як про n випробування Бернуллі. Точну відповідь на поставлене запитання дасть наступна теорема.

Теорема Бернуллі

Ймовірність Pn(k) настання k «успіхів» у n незалежних повтореннях одного й того самого випробування обчислюється за формулою Pn(k)=Cnkpkqnk, де p — ймовірність «успіху», а q=1-p — ймовірність «невдачі» в окремому випробуванні.

Приклад:

Кожен із чотирьох приятелів вивчив рівно 5 питань із 20 заданих до заліку. На заліку вони відповідали в різних аудиторіях і отримували запитання незалежно один від одного.

Знайди ймовірність того, що:

a) кожному дісталося те питання, яке він вивчив;

b) нікому не дісталося питання, яке він вивчив;

c) тільки одному з приятелів дісталося те питання, яке він не вивчив;

d) хоча б одному з приятелів дісталося те питання, яке він вивчив.

Розв'язання

Якщо комусь дісталося питання, яке він вивчив, то це «успіх». Ймовірність «успіху» у кожного з приятелів, що готувалися до заліку, одна й та сама: вона дорівнює 520=0,25. Тому можна вважати, що ми маємо справу з n=4 випробуваннями Бернуллі з імовірністю «успіху» в окремому випробуванні p=0,25.

a) у цьому випадку k=n=4 і тому P4(4)=C44p4q44=0,2540,004;

b) у цьому випадку k=0 і тому P4(0)=C40p0q40=0,7540,316;

c) тут k=3 і тому P4(3)=C43p3q43=40,2530,750,047;

d) подія, протилежна даній, полягає в тому, що нікому з друзів не дісталося питання, яке він вивчив, тобто, що сталося k=0 «успіхів». Ймовірність такої загальної невдачі вже порахована в пункті b. Отже, потрібна нам ймовірність дорівнює:

1P4(0)=10,7540,684

Теорема

Найбільш імовірне число «успіхів» у n випробуваннях Бернуллі наближено дорівнює np, де p — ймовірність «успіху» в окремому випробуванні.

Сформулюємо наступне правило.

Для того щоб знайти найімовірніше число kнайімовір «успіхів» у n випробуваннях Бернуллі з імовірністю «успіху» рівною p, потрібно:

1) обчислити число np;

2) від числа np на координатній прямій відкласти q вліво і p вправо;

3) ціле число, яке лежить на відрізку npq;np+p одиничної довжини, і буде дорівнювати kнайімовір; якщо таких цілих чисел два, то kнайімовір може дорівнювати будь-якому з них.