Розглянемо випробування, в якому ймовірність настання випадкової події A дорівнює P (A).
Нам відома формула , де — подія, протилежна події A.
Отже, . Будемо розглядати вихідне випробування як випробування лише з двома можливими наслідками: один полягає в тому, що подія A відбудеться, а інший — у тому, що подія A не відбудеться, тобто відбудеться подія .
Для стислості назвемо перший наслідок (настання події A) «успіхом», а другий наслідок (настання події ) — «невдачею». Ймовірність «успіху» позначимо , а ймовірність «невдачі» — .
Схема Бернуллі
Розглядають n незалежних повторень одного й того самого випробування з двома можливими наслідками: «успіхом» і «невдачею». Ймовірність «успіху» дорівнює p, а ймовірність «невдачі» дорівнює q, p+q=1. Потрібно знайти ймовірність того, що в цих n повтореннях відбудеться рівно k «успіхів».
При n незалежних повтореннях одного й того самого випробування з двома можливими наслідками більш коротко говорять як про n випробування Бернуллі. Точну відповідь на поставлене запитання дасть наступна теорема.
Теорема Бернуллі
Ймовірність настання k «успіхів» у n незалежних повтореннях одного й того самого випробування обчислюється за формулою де p — ймовірність «успіху», а q=1-p — ймовірність «невдачі» в окремому випробуванні.
Кожен із чотирьох приятелів вивчив рівно 5 питань із 20 заданих до заліку. На заліку вони відповідали в різних аудиторіях і отримували запитання незалежно один від одного.
Знайди ймовірність того, що:
a) кожному дісталося те питання, яке він вивчив;
b) нікому не дісталося питання, яке він вивчив;
c) тільки одному з приятелів дісталося те питання, яке він не вивчив;
d) хоча б одному з приятелів дісталося те питання, яке він вивчив.
Розв'язання
Якщо комусь дісталося питання, яке він вивчив, то це «успіх». Ймовірність «успіху» у кожного з приятелів, що готувалися до заліку, одна й та сама: вона дорівнює . Тому можна вважати, що ми маємо справу з n=4 випробуваннями Бернуллі з імовірністю «успіху» в окремому випробуванні p=0,25.
a) у цьому випадку k=n=4 і тому ;
b) у цьому випадку k=0 і тому ;
c) тут k=3 і тому ;
d) подія, протилежна даній, полягає в тому, що нікому з друзів не дісталося питання, яке він вивчив, тобто, що сталося k=0 «успіхів». Ймовірність такої загальної невдачі вже порахована в пункті b. Отже, потрібна нам ймовірність дорівнює:
Найбільш імовірне число «успіхів» у n випробуваннях Бернуллі наближено дорівнює np, де p — ймовірність «успіху» в окремому випробуванні.
Сформулюємо наступне правило.
Для того щоб знайти найімовірніше число «успіхів» у n випробуваннях Бернуллі з імовірністю «успіху» рівною p, потрібно:
1) обчислити число np;
2) від числа np на координатній прямій відкласти q вліво і p вправо;
3) ціле число, яке лежить на відрізку одиничної довжини, і буде дорівнювати ; якщо таких цілих чисел два, то може дорівнювати будь-якому з них.