Теорія:

Розглянемо випробування, в якому ймовірність настання випадкової події \(A\) дорівнює \(P\) \((A).\)

Зверни увагу!

Нам відома формула P(A)+P(A¯)=1\(,\) де A¯ — подія, протилежна події \(A.\)

Отже, P(A¯)=1P(A)\(.\) Будемо розглядати вихідне випробування як випробування лише з двома можливими наслідками: один полягає в тому, що подія \(A\) відбудеться, а інший — у тому, що подія \(A\) не відбудеться, тобто відбудеться подія A¯\(.\)

Для стислості назвемо перший наслідок (настання події \(A\)) «успіхом», а другий наслідок (настання події A¯) — «невдачею». Ймовірність «успіху» позначимо P(A)=p\(,\) а ймовірність «невдачі» — q;q=P(A¯)=1P(A)=1p\(.\)

Схема Бернуллі

Розглядають \(n\) незалежних повторень одного й того самого випробування з двома можливими наслідками: «успіхом» і «невдачею». Ймовірність «успіху» дорівнює \(p,\) а ймовірність «невдачі» дорівнює \(q,\) \(p+q=1.\) Потрібно знайти ймовірність Pn(k) того, що в цих \(n\) повтореннях відбудеться рівно \(k\) «успіхів».

При \(n\) незалежних повтореннях одного й того самого випробування з двома можливими наслідками більш коротко говорять як про \(n\) випробування Бернуллі. Точну відповідь на поставлене запитання дасть наступна теорема.

Теорема Бернуллі

Ймовірність Pn(k) настання \(k\) «успіхів» у \(n\) незалежних повтореннях одного й того самого випробування обчислюється за формулою Pn(k)=Cnkpkqnk, де \(p\) — ймовірність «успіху», а \(q=1-p\) — ймовірність «невдачі» в окремому випробуванні.

Приклад:

Кожен із чотирьох приятелів вивчив рівно \(5\) питань із \(20\) заданих до заліку. На заліку вони відповідали в різних аудиторіях і отримували запитання незалежно один від одного.

Знайди ймовірність того, що:

\(a)\) кожному дісталося те питання, яке він вивчив;

\(b)\) нікому не дісталося питання, яке він вивчив;

\(c)\) тільки одному з приятелів дісталося те питання, яке він не вивчив;

\(d)\) хоча б одному з приятелів дісталося те питання, яке він вивчив.

Розв'язання

Якщо комусь дісталося питання, яке він вивчив, то це «успіх». Ймовірність «успіху» у кожного з приятелів, що готувалися до заліку, одна й та сама: вона дорівнює 520=0,25\(.\) Тому можна вважати, що ми маємо справу з \(n=4\) випробуваннями Бернуллі з імовірністю «успіху» в окремому випробуванні \(p=0,25.\)

\(a)\) у цьому випадку \(k=n=4\) і тому P4(4)=C44p4q44=0,2540,004\(;\)

\(b)\) у цьому випадку \(k=0\) і тому P4(0)=C40p0q40=0,7540,316\(;\)

\(c)\) тут \(k=3\) і тому P4(3)=C43p3q43=40,2530,750,047\(;\)

\(d)\) подія, протилежна даній, полягає в тому, що нікому з друзів не дісталося питання, яке він вивчив, тобто, що сталося \(k=0\) «успіхів». Ймовірність такої загальної невдачі вже порахована в пункті \(b\)\(.\) Отже, потрібна нам ймовірність дорівнює:

1P4(0)=10,7540,684

Теорема

Найбільш імовірне число «успіхів» у \(n\) випробуваннях Бернуллі наближено дорівнює \(np,\) де \(p\) — ймовірність «успіху» в окремому випробуванні.

Сформулюємо наступне правило.

Для того щоб знайти найімовірніше число kнайімовір «успіхів» у \(n\) випробуваннях Бернуллі з імовірністю «успіху» рівною \(p,\) потрібно:

\(1)\) обчислити число \(np;\)

\(2)\) від числа \(np\) на координатній прямій відкласти \(q\) вліво і \(p\) вправо;

\(3)\) ціле число, яке лежить на відрізку npq;np+p одиничної довжини, і буде дорівнювати kнайімовір\(;\) якщо таких цілих чисел два, то kнайімовір може дорівнювати будь-якому з них.