Теорія:

У статистиці досліджують різні сукупності даних — числових значень випадкових величин із урахуванням частот, із якими вони зустрічаються в сукупності.

При цьому сукупність усіх даних називають генеральною сукупністю, а будь-яку вибрану з неї частину — вибіркою.

У статистичних дослідженнях вибірку називають репрезентативною, якщо в ній присутні ті й тільки ті значення випадкової величини, що і в генеральній сукупності, причому частоти наявних у ній даних знаходяться практично в тих же відносинах, що і в генеральній сукупності.

Сукупність даних іноді буває корисно охарактеризувати (оцінити) одним числом — мірою центральної тенденції числових значень її елементів. До таких характеристик належать мода, медіана та середнє.

Мода (позначають Mo) — це значення випадкової величини, що має найбільшу частоту в розглянутій вибірці.
Приклад:

Mода вибірки \(7, 6, 2, 5, 6, 1\) дорівнює \(6,\) a вибірка \(2, 3, 8, 2, 8, 5\) має дві моди: Mo \(= 2,\) Mo \(= 8.\)

Медіана (позначають Me) — це число (значення випадкової величини), що ділить упорядковану вибірку на дві рівні за кількістю даних частини.
Якщо у впорядкованій вибірці непарна кількість даних, то медіана дорівнює серединному з них.

Якщо у впорядкованій вибірці парна кількість даних, то медіана дорівнює середньому арифметичному двох серединних чисел.
Приклад:

\(1)\) \(5, 9, 1, 4, 5, -2 , 0;\)   \(2)\) \(7, 4, 2, 3, 6, 1\).

\(1)\) розташуємо елементи вибірки в порядку зростання: \(-2 , 0, 1, 4, 5, 5, 9.\) Кількість даних — непарна. Ліворуч і праворуч від числа \(4\) знаходяться по \(3\) елементи, тобто \(4\) — серединне число вибірки, тому Me \(= 4.\)

\(2)\) упорядкуємо елементи вибірки: \(1, 2, 3, 4, 6, 7.\) Кількість даних — парна. Серединні дані вибірки: \(3\) і \(4,\) тому Me=3+42=3,5\(.\)

Середнє (або середнє арифметичне) вибірки — це число, що дорівнює відношенню суми всіх чисел вибірки до їхньої кількості.

Якщо розглядається сукупність значень випадкової величини X\(,\) то її середнє позначають X¯\(.\)

Приклад:

Знайди середнє вибірки значень випадкової величини X\(,\) розподіл яких за частотами подано в таблиці:

\(X\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(8\)
\(10\)
\(M\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(1\)
\(1\)
 
X¯=21+32+43+81+1011+2+3+1+1=388=4,75
 

Однією з найбільш поширених характеристик вибірки значень випадкової величини, чий розподіл за ймовірностями відомий, є так зване математичне очікування.

Нехай розподіл за ймовірностями \(P\) значень деякої випадкової величини X задано таблицею:

X
X1
X2
...
Xn1
Xn
P
P1
P2
Pn1
Pn

 

Тоді число E\(,\) де E=X1P1+X2P2+...+Xn1Pn1+XnPn\(,\) називають математичним очікуванням (або середнім значенням) випадкової величини X.