Теорія:

Розв'язанням рівняння з двома змінними \(p\) \((x; y)=0\) називають будь-яку пару чисел \((x;y),\) яка перетворює рівняння на правильну числову рівність. 
Рівняння з двома змінними зазвичай має нескінченно багато розв'язків.  
Приклад:
Рівняння x2+y2=9 задовольняє будь-яка пара \((x; y)\) — така, що точка координатної площини \(M(x; y)\) належить колу з радіусом \(3\) та центром у початку координат.
Якщо дано ціле раціональне рівняння з декількома змінними й цілочисельними коефіцієнтами і якщо поставлено завдання знайти його цілочисельні (або раціональні) розв'язки, то говорять, що задано діофантове рівняння.
Приклад:
Знайди цілочисельні розв'язки рівняння 3x+4y=19\(.\)

Виразимо \(x\) із даного рівняння:

x=194y3

При подільності числа \(y\) на \(3\) може бути три можливості:

\(1)\) \(y = 3k;\)
\(2)\) \(y = 3k+1;\)
\(3)\) \(y = 3k+2.\)
 
Якщо \(y = 3k,\) то отримаємо 194y=1943k=1912k\(.\) Це число на \(3\) не ділиться, оскільки \(12k\) ділиться на \(3,\) а \(19\) — не ділиться.

Якщо \(y = 3k+1,\) то отримаємо 194y=1943k+1=1912k4=1512k=354k\(.\) Це число на \(3\) ділиться.

Якщо \(y = 3k+2,\) то отримаємо 194y=1943k+2=1912k8=1112k\(.\) Це число на \(3\) не ділиться.
 
Отже, єдина можливість цілочисельного розв'язання рівняння — це пара чисел \((5-4k; 3k+1),\) де \(k\) — будь-яке ціле число.
Розв'язком нерівності \(p\) \((x; y)>0\) називають будь-яку пару чисел \((x; y),\) яка задовольняє цю нерівність, тобто перетворює її на правильну числову нерівність.
Приклад:
Розв'яжи нерівність: \(2x+3y>0\)

Побудуємо графік рівняння \(2x+3y=0\) — пряму.

Розв'язком нерівності є точки напівплощини вище або нижче від побудованої прямої.

Для правильного визначення потрібної напівплощини виберемо будь-яку точку з неї, координати якої підставимо в таку нерівність.
 
Якщо нерівність буде правильною, то напівплощина вибрана правильно.
 
lineara nevienad.png
 
Вибравши контрольну точку \((1; 1)\) із верхньої напівплощини, отримаємо правильну числову нерівність: 

21+31>0

Отже, розв'язком даної нерівності є верхня напівплощина.
 
Аналогічно можна міркувати при розв'язанні системи нерівностей із двома змінними.
Розв'язати систему нерівностей із двома змінними — означає знайти множину всіх таких точок координатної площини, координати яких задовольняють одночасно всі нерівності системи.