Теорія:

Перевірка коренів та втрата коренів
У ході розв'язання рівнянь, виконуючи різні перетворення, можна отримати рівняння-наслідок. Це може трапитися, якщо застосувати одну з теорем \(4,\) \(5\) або \(6,\) не перевіривши виконання обмежень, закладених у формулюванні теореми.
Приклад:
Піднесено до квадрата обидві частини рівняння x1=3\(.\)

Отримаємо рівняння, розв'язавши яке, маємо у відповіді два корені:
 
x12=9x1=4,x2=2

 
Другий корінь \(-2\) є стороннім коренем рівняння x1=3\(.\)
 
Причина його появи в тому, що за теоремою \(5\) обидві частини рівняння при піднесенні його до того самого парного степеня, повинні бути невід'ємними. Але відносно виразу \(x-1\) стверджувати цього не можна.
У ході розв'язання рівнянь може відбутися розширення області визначення рівняння, якщо:
 
\(1)\) відбувається звільнення від знаменників, що містять змінну;
 
\(2)\) відбувається звільнення від знаків коренів парного степеня;
 
\(3)\) відбувається звільнення від знаків логарифмів.
Зверни увагу!
При перетворенні вихідного рівняння на рівняння-наслідок, обов'язковою є перевірка всіх знайдених коренів для того, щоб виявити сторонній корінь.
Перевірка необхідна, якщо:
 
\(1)\) відбулося розширення області визначення рівняння;
 
\(2)\) здійснювалося піднесення обох частин рівняння до одного й того самого парного степеня;
 
\(3)\) виконувалося множення обох частин рівняння на один і той самий вираз зі змінною (що має зміст у всій області визначення рівняння).
При розв'язанні рівнянь, замінюючи одне рівняння на інше, можна отримати сторонній корінь, а також загубити один із коренів.
 
Втрата кореня може трапитися, якщо:
  
\(1)\) поділити обидві частини рівняння на один і той самий вираз \(h(x)\) (окрім тих випадків, коли точно відомо, що всюди в області визначення рівняння виконується умова h(x)0);
 
\(2)\) звуження \(ОДЗ\) у процесі розв'язання рівняння.
 
Приклад:
Розв'яжи рівняння:
 
lgx2=4
 
Розв'яжемо рівняння двома способами:
 
x2=104;2lgx=4;x2=10000;lgx=2;x1=100,x=100x2=100
 
Порівнюючи ці два способи, помічаємо, що при розв'язанні другим способом «загубився» корінь \(x=-100.\)

У даному випадку причина полягає в неправильному застосуванні формули, яка звузила область визначення виразу, тобто замість правильної формули lgx2=2lg|x| (де область визначення \(x\) — будь-яке число, крім \(0\)), ми скористалися неправильною формулою lgx2=2lgx\(,\) де область визначення \(x>0,\) тобто тільки додатні числа.

З області визначення «випав» відкритий промінь ;0\(,\) де якраз і знаходиться «загублений» при другому способі розв'язання корінь рівняння. 
Отже, при застосуванні під час розв'язання рівняння якої-небудь формули, необхідно, щоб у правій і лівій частині формули \(ОДЗ\) змінної були однакові.