Теорія:

Два рівняння з однією змінною f(x)=g(x) і p(x)=h(x) називаються рівносильними, якщо множини їхніх коренів збігаються.
Інакше кажучи, два рівняння називаються рівносильними, якщо вони мають однакові корені або якщо обидва рівняння не мають коренів. 
Якщо кожен корінь рівняння f(x)=g(x) \((1)\) є водночас коренем рівняння p(x)=h(x) \((2),\) то рівняння \((2)\) називають наслідком рівняння \((1).\)
Приклад:
Рівняння x22=9 є наслідком рівняння x2=3\(.\)
Насправді розв'язавши кожне рівняння, отримаємо:
 
x22=9x2=3;x2=3x1=5;x2=1           і            x2=3x=5
 
Корінь другого рівняння є одним із коренів першого рівняння, тому перше рівняння — наслідок другого рівняння.
 
Очевидним є наступне твердження.
Два рівняння рівносильні тоді й тільки тоді, коли кожне з них є наслідком іншого.
Розв'язання рівняння, як правило, здійснюється в три етапи.
 
Перший етап — технічний.

На цьому етапі здійснюються перетворення за схемою (1)(2)(3)(4)... і знаходяться корені останнього (найпростішого) рівняння вказаного ланцюжка.
  
Другий етап — аналіз розв'язання.

На цьому етапі аналізується, чи всі проведені перетворення були рівносильними.
  
Третій етап — перевірка.
 
Якщо аналізуючи перетворення на другому етапі, робимо висновок, що отримали рівняння-наслідок, то обов'язковою є перевірка всіх знайдених коренів методом їх підстановки в початкове рівняння.
 
Зверни увагу!
Розв'язання рівнянь, що зустрічаються в шкільному курсі, ґрунтується на шести теоремах про
рівносильність.
Теорема \(1\)
 
Якщо який-небудь член рівняння перенести з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком, то вийде рівняння, рівносильне даному.
Теорема \(2\)
 
Якщо обидві частини рівняння піднести до одного й того самого непарного степеня, то вийде рівняння, рівносильне даному.
Теорема \(3\)
Показникове рівняння af(x)=ag(x)\(,\) де \(a>0,\) a1 рівносильне рівнянню f(x)=g(x)\(.\)
Областю визначення рівняння f(x)=g(x) або областю допустимих значень змінної \((ОДЗ)\) називають множину тих значень змінної \(x,\) за яких одночасно мають зміст вирази \(f(x)\) і \(g(x).\)
Теорема \(4\)

Якщо обидві частини рівняння f(x)=g(x) помножити на один і той самий вираз \(h(x),\) який: 
 
\(a)\) має зміст усюди в області визначення (в області допустимих значень) рівняння f(x)=g(x)\(;\)
 
\(b)\) ніде в цій області не перетворюється на \(0,\)

то вийде рівняння f(x)h(x)=g(x)h(x)\(,\) рівносильне даному.
Наслідок теореми \(4\)

Якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне й те саме, відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному.
Теорема \(5\)
 
Якщо обидві частини рівняння f(x)=g(x) невід'ємні в області визначення, то після піднесення обох його частин до того самого парного степеня \(n\) вийде рівняння, рівносильне даному: f(x)n=g(x)n\(.\)
Теорема \(6\)
 
Якщо f(x)>0 і g(x)>0\(,\) то логарифмічне рівняння logaf(x)=logag(x)\(,\) де \(a>0,\) a1\(,\) рівносильне рівнянню f(x)=g(x)\(.\)