Теорія:

Розв'язанням нерівності f(x)>g(x) називається будь-яке значення змінної \(x,\) яке перетворює задану нерівність зі змінною на правильну числову нерівність.
Дві нерівності з однією змінною f(x)>g(x) і p(x)>h(x) називаються рівносильними, якщо їхні розв'язки (тобто множини частинних розв'язків) збігаються.
Використання знака \(>\) непринципове, може бути будь-який інший знак нерівності.
  
Якщо розв'язок нерівності f(x)>g(x) \((1)\) міститься в розв'язку нерівності  p(x)>h(x) \((2),\) то нерівність \((2)\) називають наслідком нерівності \((1).\)
 
Нерівність x2>9 є наслідком нерівності 2x>6\(.\) Дійсно, розв'язавши кожну нерівність, отримаємо:
 
x29>0(x3)(x+3)>0x(;3)(3;+)         і         2x>6x>3x(3;+)
 
interv5.png interv6.png

Розв'язок другої нерівності є частиною розв'язку першої, тому перша нерівність — наслідок другої нерівності. 
Розв'язання нерівностей, що зустрічаються в шкільному курсі, ґрунтується на шести теоремах про рівносильність:
Теорема \(1\)
 
Якщо який-небудь член нерівності перенести з однієї частини нерівності в іншу з протилежним знаком, залишивши знак нерівності без зміни, то вийде нерівність, рівносильна даній.
Теорема \(2\)

Якщо обидві частини нерівності піднести до одного й того самого непарного степеня, залишивши знак нерівності без зміни, то вийде нерівність, рівносильна даній.
Теорема \(3\)

Показникова нерівність af(x)>ag(x) рівносильна:
 
\(a)\) нерівності того самого змісту f(x)>g(x)\(,\) якщо \(a>1;\)
 
\(b)\) нерівності протилежного змісту f(x)<g(x)\(,\) якщо \(0<a<1.\)
Теорема \(4\)

\(a)\) якщо обидві частини нерівності f(x)>g(x) помножити на один і той самий вираз \(h(x),\) додатний при всіх \(x\) із області визначення (області допустимих значень змінної) нерівності f(x)>g(x)\(,\) залишивши при цьому знак нерівності без зміни, то вийде нерівність f(x)h(x)>g(x)h(x)\(,\) рівносильна даній.
 
\(b)\) якщо обидві частини нерівності f(x)>g(x) помножити на один і той самий вираз \(h(x),\) від'ємний при всіх \(x\) із області визначення нерівності f(x)>g(x)\(,\) змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то вийде нерівність f(x)h(x)<g(x)h(x)\(,\) рівносильна даній.
Теорема \(5\)

Якщо обидві частини нерівності f(x)>g(x) невід'ємні в області його визначення (в \(ОДЗ\)), то після піднесення обох частин нерівності до того самого парного степеня \(n\) вийде нерівність того самого змісту f(x)n>g(x)n\(,\) рівносильна даній.
Теорема \(6\)

Якщо f(x)>0 і g(x)>0\(,\) то логарифмічна нерівність logaf(x)>logag(x) рівносильна:
 
\(a)\) нерівності того самого змісту f(x)>g(x)\(,\) якщо \(a>1;\)
 
\(b)\) нерівності протилежного змісту f(x)<g(x)\(,\) якщо \(0<a<1.\)