Теорія:

Квадратним рівнянням називається рівняння вигляду ax2+bx+c=0, де коефіцієнти \(a, b, c\) — будь-які дійсні числа, причому a0.
Коефіцієнти \(a, b, c\) розрізняються за назвами:
  • \(a\) — перший, або старший коефіцієнт;
  • \(b\) — другий коефіцієнт, або коефіцієнт при \(x\);
  • \(c\) — вільний член.
Квадратне рівняння називається зведеним, якщо його старший коефіцієнт дорівнює \(1\);
квадратне рівняння називається незведеним, якщо старший коефіцієнт відмінний від \(1\).
Так, рівняння 3x2+5x1=0 — незведене квадратне рівняння (старший коефіцієнт дорівнює \(3\)), а рівняння x22x+1=0 — зведене квадратне рівняння.
 
Окрім зведених і незведених квадратних рівнянь розрізняють також повні та неповні рівняння.
Повне квадратне рівняння — це квадратне рівняння, в якому присутні всі три доданки; інакше кажучи, це рівняння, у якого коефіцієнти \(b\) і \(c\) відмінні від нуля.
Неповне квадратне рівняння — це рівняння, в якому присутні не всі три доданки; інакше кажучи, це рівняння, в якого хоча б один із коефіцієнтів \(b, c\) дорівнює нулю.
Про ax2 не йдеться, цей член завжди присутній у квадратному рівнянні.
Коренем квадратного рівняння  ax2+bx+c=0 називається будь-яке значення змінної \(x\), за якого квадратний тричлен ax2+bx+c перетворюється на нуль; таке значення змінної \(x\) називається також коренем квадратного тричлена.
Можна сказати й так: корінь квадратного рівняння ax2+bx+c=0 — це таке значення \(x\), підстановка якого в рівняння перетворює рівняння на правильну числову рівність \(0 = 0\).
Розв'язати квадратне рівняння — означає знайти всі його корені або встановити, що коренів немає.
Алгоритм розв'язання неповних квадратних рівнянь
1. Якщо рівняння має вигляд ax2=0, то в нього один корінь: \(x=0\)
 
2. Якщо рівняння має вигляд ax2+bx=0, то використовується метод розкладання на множники: \(x(ax + b) = 0\); отже, або \(x = 0\), або \(ax + b = 0\). У результаті отримуємо два корені: x1=0;x2=ba
 
3. Якщо рівняння має вигляд ax2+c=0, то його перетворюють до вигляду ax2=c, а потім: x2=ca

У випадку, коли ca — від'ємне число, рівняння x2=ca не має коренів (отже, не має коренів і початкове рівняння ax2+c=0).
 
У випадку, коли ca — додатне число, тобтоca=m, де \(m > 0\), рівняння x2=m має два корені: x1=mx2=m. У цьому випадку допускається більш короткий запис: x1,2=±m.
 
Зверни увагу!
Неповне квадратне рівняння може мати два корені, один корінь або жодного кореня.
 
Квадратне рівняння ax2+bx+c=0 може мати два корені, один корінь або взагалі не мати коренів.