Теорія:

Якщо подається якийсь раціональний вираз \(A\), то, помноживши його на \(-1\), отримуємо (1)A=A.
Два раціональних вирази \(A\) і \(-A\) називаються взаємно протилежними раціональними виразами, якщо їх сума дорівнює \(0\), тобто 220.PNG.
Протилежні вирази, так само, як і протилежні числа, відрізняються один від одного лише знаком.
 
Наступні вирази є взаємно протилежними:
  • \(5\) і \(-5\);
  • \(а+b\) і\(  -a-b\);
  • \(x/y\) і \(-x/y\); 
  • \(m²-m+3\) і \(-m²+m-3.\)
Це так, оскільки:
 
bilde.png
 
Вирази \(m²-m+3\) та \(-m²+m-3\) — це взаємно протилежні многочлени.
 
Виконуючи дії з дробовими раціональними виразами, чисельник і знаменник певного дробу досить часто доводиться змінювати на протилежний вираз.
Але, щоб значення дробу не змінилося, потрібно дотримуватися закону зміни знаків. Він полягає в тому, що значення дробу не зміниться, якщо змінити знаки на протилежні:
  • у чисельника та знаменника дробу;
  • у чисельника та всього дробу;
  • у знаменника та всього дробу.
Якщо літерами \(A\) і \(B\) позначимо чисельник і знаменник раціонального виразу, закон зміни знаків можна записати таким чином:
 
225.PNG
Цей закон діє лише тоді, коли 226.PNG .
 
   
1)
227.PNG
змінено знаки в чисельнику та знаменнику;
2)
228.PNG
змінено знак у чисельнику та перед дробом;
3)
230.PNG
змінено знак у знаменнику та перед дробом.
  
У правильності кожної рівності можна переконатися, вибравши будь-яке значення змінної з області визначення дробу.
 
Перетворення m+2m=m+2m є правильним за всіх значень \(m\), окрім \(m=0\).
 
Перевіримо це, якщо \(m=1\) та якщо \(m=10\)
 
Якщо \(m=1\), тоді 1+21=1+21;31=31;(3)=3;3=3
 
Якщо \(m=10\), тоді 10+210=10+210;1210=1210;(1,2)=1,2;1,2=1,2