Арифметична прогресія — урок. Алгебра, 9 клас.

www.ua.pistacja.tv

Послідовність, у якій кожен наступний член можна знайти, додавши до попереднього одне і те ж число

$d$ , називається арифметичною прогресією.

Якщо послідовність (

$a_{n}$ ) є арифметичною прогресією, тоді для будь-якого натурального значення

$n$ справедлива залежність

$a_{n + 1}$

$=$

$a_{n}$

$+$

$d$

Число

$d$ називається різницею арифметичної прогресії.

Якщо відомий перший член арифметичної прогресії

$a_{1}$ і різниця

$d$ , тоді можливо обчислити будь-який член арифметичної прогресії:

$a_{2}$

$=$

$a_{1}$

$+$

$d$

$a_{3}$

$=$

$a_{2}$

$+$

$d$

$=$

$a_{1}$

$+2$

$d$

$a_{4}$

$=$

$a_{3}$

$+$

$d$

$=$

$a_{1}$

$+3$

$d$

і т.д.

$n$ -ий член арифметичної прогресії можна отримати, якщо до першого члену прогресії додати (

$n-1$ ) різниць, тобто,

$a_{n}$

$=$

$a_{1}$

$+$

$d$

$(n - 1)$ ,

де

$n$ - порядковий номер члена прогресії,

$a_{1}$ - перший член прогресії,

$d$ - різниця.

www.ua.pistacja.tv

Ця рівність називається загальною формулою арифметичної прогресії.

Її використовують, щоб обчислити

$n$ -ий член арифметичної прогресії (наприклад, десятий, сотий та ін.), якщо відомі перший член послідовності і різниця.

Приклад:

Дано арифметичну прогресію (

$a_{n}$ ), де

$a_{1}$

$= 0$ і

$d$

$= 2$ .

Написати:

a) перші п'ять членів прогресії;

b) десятий член прогресії.

a. Щоб знайти наступний член прогресії, потрібно до попереднього додати різницю:

$a_{2}$

$=$

$a_{1}$

$+$

$d$

$= 0+2=2$

$a_{3}$

$=$

$a_{2}$

$+$

$d$

$= 2+2=4$

$a_{4}$

$=$

$a_{3}$

$+$

$d$

$= 4+2=6$

$a_{5}$

$=$

$a_{4}$

$+$

$d$

$= 6+2=8$

b. Використовується загальна формула

$a_{n}$

$=$

$a_{1}$

$+$

$d$

$(n - 1)$

Якщо

$n = 10$ , тоді замість

$n$ до формули підставляється

$10$ :

$a_{10}$

$=$

$a_{1}$

$+$

$2 \cdot (10 - 1)$

$a_{10}$

$= 0+$

$2 \cdot 9$

$a_{10}$

$= 18$

Сума перших

$n$ членів арифметичної прогресії

www.ua.pistacja.tv

Суму перших

$n$ членів арифметичної прогресії можна знайти, використовуючи формулу:

$S_{n}$

$=$

$\frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2}$ , де

$n$ - число членів послідовності.

Приклад:

Дано арифметичну прогресію (

$a_{n}$ ), де

$a_{1}$

$= 0$ і

$d$

$= 2$ .

Написати суму перших п'яти членів послідовності.

$S_{n}$

$=$

$\frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2}$ , де

$n = 5$ і

$a_{n}$

$=$

$a_{5}$

$= 8$ (з попереднього прикладу)

$S_{5}$

$=$

$\frac{(a_{1} + a_{5}) \cdot 5}{2}$

$=$

$\frac{(0 + 8) \cdot 5}{2}$

$=$ 20

$1$

Попередня тема

Повернутись до теми

Наступне завдання

Відправити відгук

Знайшли помилку?

Розкажіть нам!

1. Арифметична прогресія

Теорія: