Теорія:

Комбінаторика — розділ математики про обчислення кількості різних комбінацій будь-яких елементів.
В завданнях з комбінаторики, зазвичай, потрібно з'ясувати, чи можливо скласти комбінацію певного вигляду і скільки різних комбінацій можна скласти.
 
Приклад:
1. Скільки різних тризначних номерів телефону можна скласти з п'яти цифр? (Відповідь: \(125\))
 
2. Скількома різними способами можна скласти танцювальну пару, якщо в колективі \(3\) хлопчика і \(4\) дівчинки? (Відповідь: \(12\)).
 
3. Скількома різними способами можна утворити пару чергових, якщо в класі залишилися Надя, Віка, Саша і Юра? (Відповідь: \(6\)).
 
4. Скількома різними способами можна вибрати двох учнів (одного - чистити дошку, другого - підмітати підлогу), якщо в класі залишилися Надя, Віка, Саша і Юра? (Відповідь: \(12\))
Один зі способів розв'язання задач комбінаторики - це розглянути всі можливі комбінації елементів, що називається повним перебором варіантів.
 
Деревоподібна діаграма
Деревоподібна діаграма — один зі способів показати і систематизувати всі розміщення. За допомогою деревовидної діаграми здійснюється повний перебір.
Скільки різних двозначних чисел можна скласти з цифр \(1\), \(2\) і \(3\), якщо кожну використовувати тільки один раз?
Розв'язок:
складається деревоподібна діаграма:
diagramma_1.PNG
Відповідь: можна скласти \(6\) різних чисел.
 
Приклад:
Розглянемо 3-й приклад (див. вище):
Скількома різними способами можна утворити пару чергових, якщо в класі залишилися Надя, Віка, Саша і Юра?
 
diagramma_2.PNG
На деревоподібній діаграмі видно, що можна утворити тільки \(6\) пар чергових (Надя і Віка, Надя і Саша, Надя та Юра, Віка і Саша, Саша і Юра, Віка і Юра), оскільки кожна пара повторюється \(2\) рази.
 
Розглянемо 4-й приклад:
Скількома різними способами можна вибрати двох учнів (одного - чистити дошку, другого - підмітати підлогу), якщо в класі залишилися Надя, Віка, Саша і Юра?
 
Використовується та ж деревоподібна діаграма, але в даному випадку відповідь буде \(12\) пар, тому що кожна пара з діаграми відрізняється. Якщо дітей поміняти місцями, вони виконують вже інші функції.
За допомогою деревоподібної діаграми були отримані різні результати, тому що в 3 і 4 прикладі були розглянуті різні види комбінацій: поєднання і розміщення.
 
Такого роду діаграми в подробицях зручно малювати тільки для невеликого числа варіантів, а, наприклад, для сотень комбінацій дерево варіантів цілком не намалюєш. Тоді доводиться діяти по-іншому. Найчастіше при різних підрахунках використовують правило множення:
  
Для того, щоб знайти число всіх можливих результатів незалежного проведення двох випробувань \(А\) і \(В\), слід помножити число всіх результатів випробування \(А\) і число всіх результатів випробування \(В\). 

Таблиця

В окремих випадках для систематизації даних складаються таблиці комбінацій.
Простий ігровий кубик кидається \(2\) рази і отримані пункти помножуються. Скільки різних добутків можна отримати?
 
\(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\)
\(1\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\)
\(2\) \(2\) \(4\) \(6\) \(8\) \(10\) \(12\)
\(3\) \(3\) \(6\) \(9\) \(12\)
\(15\)
\(18\)
\(4\) \(4\) \(8\) \(12\) \(16\) \(20\) \(24\)
\(5\) \(5\) \(10\) \(15\) \(20\) \(25\) \(30\)
\(6\) \(6\) \(12\) \(18\) \(24\) \(30\) \(36\)
 
 
Різні добутки - це \(1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9; 10; 12; 15; 16; 18; 20; 24; 25; 30; 36\) —  всього \(18\) різних результатів.
Джерела: