Теорія:

Коло
cirkulis.jpg
Коло — геометрична фігура, що складається зі всіх точок площини, які знаходяться на заданій відстані від даної точки.
 
Цю точку називають центром кола, а задану відстань — радіусом кола.
 
Rl1.png
Радіус — це відрізок, що з'єднує центр кола з будь-якою точкою кола.
Із визначення випливає, що можна провести нескінченну кількість радіусів, і всі вони мають однакову довжину.
Відрізок, який сполучає дві точки на колі, називається хордою. 

Якщо хорда проходить через центр кола, то її називають діаметром кола.
Зверни увагу!
Діаметр — найдовша хорда.
У колі також можна провести нескінченну кількість діаметрів.
 
Rl2.png
 
Якщо сполучити дві точки кола не відрізком, а кривою, що проходить по самому колу, то утвориться частина кола між двома точками, яку називають дугою.
  
Якщо на колі позначити дві точки, то буде дві дуги. Тому для назви дуги використовують три латинські букви, які можуть бути як маленькими, так і великими.
 
На рисунку можна виділити: дугу \(BDH,\) дугу \(ACG\) та інші. 

На рисунку можна виділити: дугу \(AxB\) і дугу \(AyB.\)
 
Rl3.png
Частина площини, обмежена колом, називається кругом.
Rinkis.png
Завдання на побудову
c_un_lin.jpg
 
У завданнях, де необхідно побудувати конструкції, використовуються циркуль і лінійка.
 
Важливо запам'ятати, що в цих завданнях лінійка використовується не як інструмент для вимірювання, а винятково для проведення прямої, променя або відрізка через дві дані точки, тобто для проведення прямої лінії.
 
Циркуль використовується для побудови кола або дуги кола.
 
Розглянемо п'ять основних геометричних побудов, у яких використовуємо згадані дії (побудова прямої та кола):
 
\(1.\) Побудова відрізка, що дорівнює даному.
\(2.\) Побудова кута, що дорівнює даному.
\(3.\) Побудова бісектриси кута.
\(4.\) Побудова перпендикулярних прямих.
\(5.\) Побудова середини відрізка.
 
\(1.\) Побудова відрізка, що дорівнює даному
 
Див. відео.
  
Dotais_nogrieznis.png
 
Зрозуміло, що таким чином ми отримали відрізок, який дорівнює даному. Відповідно до визначення кола, він складається з точок, розташованих на рівній відстані (радіусі) від певної точки (центр кола).

Якщо центром є початкова точка променя \(C,\) радіусом — даний відрізок \(AB,\) то точка перетину кола і променя \(D\) і є шуканою кінцевою точкою відрізка \(CD,\) що дорівнює даному відрізку \(AB.\)
 
\(2.\) Побудова кута, що дорівнює даному
  
Див. відео.
  
Dotais_lenkis.png

Доведемо, що побудований кут \(ECD\) і є той шуканий кут, що дорівнює даному куту \(AOB.\)

Якщо ми побудували коло з центром \(C\) (початковою точкою променя) і таким самим радіусом, як у кола з центром \(O,\) то \(CD\) \(=\) \(OB.\)

Якщо далі ми побудували коло з центром \(D\) і радісуом, рівним відрізку \(BA,\) і отримали точку перетину обох кіл \(E,\) то \(BA\) \(=\) \(DE.\)

Ми провели промінь \(CE.\) Очевидно, що \(OA\) \(=\) \(CE.\)

Отже, трикутники \(AOB\) і \(ECD\) рівні за третьою ознакою рівності трикутників. У них рівні й кути, зокрема кут \(ECD\) дорівнює куту \(AOB.\)
 
 
\(3.\) Побудова бісектриси кута
  
Див. відео.
  
Bisektrise.png
 
Щоб довести, що \(OC\) дійсно ділить кут \(AOB\) навпіл, достатньо розглянути трикутники \(AOC\) і \(BOC.\)

\(OA = OB\) як радіуси одного кола, а \(AC = BC,\) оскільки при побудові ми вибрали однакові радіуси для обох кіл.

Сторона \(OC\) — спільна.

Ці трикутники рівні за третьою ознакою рівності трикутників, тож їх відповідні кути рівні.

Отже, \(AOC\) і \(BOC\)  — дві рівні частини одного кута, і це означає, що промінь \(OC\) ділить кут навпіл.
 
 
\(4.\) Побудова перпендикулярних прямих
  
Див. відео.
  
Perp_taisne.png
 
Чому \(DE\) є перпендикулярною до \(BC?\)

\(AB = AC,\) оскільки ці точки були відкладені при побудові.

\(BD = CD,\) оскільки обидва  кола побудували з однаковими радіусами.

Отже, \(DA\) або \(EA\) — медіани до основи рівнобедрених трикутників \(ADB\) або \(AEB.\)

Медіана в трикутнику є також висотою, тобто перпендикулярна до основи.
 
\(5.\) Побудова середини відрізка
  
Див. відео.
  
Viduspunkts.png
 
Ця конструкція така ж, як у випадку побудови перпендикулярних прямих, і вже доведено, що \(DC\) або \(EC\) ділить \(AB\) навпіл, тобто \(C\) — серединна точка відрізка \(AB.\)