Рівняння — це рівність, що містить позначене буквою невідоме число, яке потрібно знайти.
Наприклад:
\(х+5=7;\)
\(3(х–5) = 18;\)
\(2,3х–5=7–0,1х.\)
Корінь рівняння — це значення невідомого, яке перетворює рівняння на правильну рівність.
Наприклад:
\(х=5\) — корінь рівняння \(2,3х-5=7-0,1х\), оскільки при підстановки цього числа замість змінної \(х\), воно перетворює рівність на правильну числову рівність, тобто:
Розв'язати рівняння — означає знайти всі його корені або довести, що коренів немає.
Основні властивості рівнянь:
- Якщо будь-який доданок перенести з однієї частини рівняння до іншої, змінивши при цьому його знак на протилежний то отримаємо рівняння, яке має ті самі корені, що й дане.
- Якщо обидві частини рівняння помножити (поділити) на одне й те саме, відмінне від нуля число, то отримаємо рівняння, яке має ті самі корені, що й дане.
Приклад:
Для визначення невідомого зменшуваного потрібно до різниці додати від'ємник:
Для визначення невідомого множника добуток потрібно поділити на відомий множник:
\(x=18:3\)
\(x=6\)
Приклад:
Розв'язуючи рівняння, можна міркувати й інакше.
Тут ми маємо рівність двох виразів, отже, їхня різниця дорівнює нулю:
\((2x-12) - (6-x)=0\)
Розкриємо дужки та спростимо вираз у лівій частині рівняння:
\(2x-12-6+x=0\)
\(3x-18=0\)
\(3x=18\)
\(x=6\)
Відповідь: \(6\).
Можна помітити, що для розв'язання рівняння потрібно послідовно виконувати наступні дії:
\(1)\) спростити рівняння ( розкрити дужки, звести подібні доданки) ;
\(2)\) доданки, що містять змінну, перенести в ліву частину рівняння, а числа — у праву частину, не забуваючи при перенесенні змінювати знаки на протилежні;
\(3)\) звести подібні доданки в лівій і правій частинах рівняння;
\(4)\) знайти корінь рівняння;
\(5)\) за потреби зробити перевірку;
\(6)\) записати відповідь.
У розглянутих прикладах рівняння зводилися до вигляду \(ax=b,\) де \(.\)
Рівняння, що можна звести до такого вигляду за допомогою перенесення доданків і зведення подібних доданків, називається лінійним рівнянням із одним невідомим.