Теорія:

Відомо, що будь-яке натуральне число \(a\) можна записати у вигляді суми деякого числа десятків та одноцифрового числа.
 
Наприклад:
37=310+7124=1210+46782=67810+2
 
У загальному вигляді можна записати так:
a=m10+n, де \(n\) — це остання цифра в запису числа \(a\).
Перший доданок, тобто вираз m10, ділиться і на \(2\), і на \(5\),  і на \(10\), тобто множник \(10\) у цьому добутку ділиться на кожне з названих чисел.
 
Тому подільність числа \(a\) на \(2\), на \(5\), на \(10\) залежить від останньої цифри числа \(a\), тобто від цифри \(n\).
Якщо остання цифра числа парна, тоді число ділиться на \(2\).
Приклад:
Числа \(910; 12; 164; 376; 1028\) діляться на \(2\), оскільки остання цифра парна, тобто це цифра \(0; 2; 4; 6; 8\), а  числа \(5; 13; 167; 261\) — не діляться на\(2\).
Якщо остання цифра числа \(5\) або \(0\), тоді воно ділиться на \(5\).
Приклад:
Числа \(35; 490 ; 13405\) діляться на \(5\), оскільки остання цифра чисел — \(5\) або \(0\) , а числа \(34 ; 206 ; 7551 \) —  не діляться на \(5\).
Якщо число закінчується цифрою \(0\), тоді воно ділиться на \(10\).
Приклад:
Числа \(40; 7900; 902030\) діляться на \(10\), оскільки остання цифра у цих чисел — \(0\) , а числа \(108; 65006; 345234\) — не діляться на \(10\).
Сформулюємо ознаку подільності на \(4\).
Число, що складається більше ніж із двох цифр, ділиться на \(4\) тоді й тільки тоді, коли ділиться на \(4\) число, утворене двома останніми цифрами заданого числа.
Приклад:
Число \(47396\) ділиться на \(4\), останні дві цифри даного числа утворюють число \(96\), яке ділиться на \(4\), тобто, записавши дане число у вигляді 47396=473100+96, можна зробити висновок, що на \(4\) ділиться кожен доданок, а отже, і сума, тобто дане число.
Числа  \(106; 65034; 3452353\) - не діляться на \(4\).
Аналогічно можна сформулювати ознаку подільності на \(25\):   
Число, що складається більше ніж із двох цифр, ділиться на \(25\) тоді і тільки тоді, коли ділиться на \(25\) число, утворене двома останніми цифрами заданого числа.
Приклад:
Число \(47375\) ділиться на \(25\), останні дві цифри даного числа утворюють число \(75\), яке ділиться на \(25\).
Приклад:
Числа  \(1206; 5034; 345235354\) - не діляться на \(25\).
 
Ознака подільності на 6: Число ділиться на 6 тоді, коли воно ділиться і на 2, і на 3 (тобто якщо воно парне і сума його цифр ділиться на 3).
Число 564 ділиться на 6, так як воно парне і сума його цифр (5+6+4=15) ділиться на3.
Число 5643 не ділиться на 6, так як воно непарне.
 
Ознака подільності на 7: Число ділиться на 7 тоді і тільки тоді, коли результат віднімання подвоєної останньої цифри з цього числа без останньої цифри ділиться на 7.
Число 364 ділиться на 7, так як 36(24)=28 ділиться на 7.
Число 456 не ділиться на 7 ,так як 45(26)=33 не ділиться на 7.
 
Ознака подільності на 8: Число ділиться на 8 тоді і тільки тоді, коли число, утворене трьома його останніми цифрами, ділиться на 8.
Число 23816 ділиться на 8, так як 816 ділиться на 8.
Число 34257 не ділиться на 8, так як 257 не ділиться на 8.
 
Ознака подільності на 11: На 11 діляться ті числа , у яких різниця між сумою цифр, які займають парні місця, ділиться на 11.
Число 103785 ділиться на 11,так як сума цифр, що займають непарні місця, 1+3+8=12 дорівнює сумі цифр, що займають парні місця  0+7+5=12. 12-12=0. 0 ділиться на 11.
Число 461025 не ділиться на 11, так як  4+1+2=7  і  6+0+5=11, а їх різниця 11-7=4 на 11 не ділиться.
 
Історична довідка.
Ознаки подільності чисел на 2 і на 5 були відомі ще в давні часи. Так, наприклад, ознаку подільності на 2 знали древні єгиптяни за 2 тисячі років до Христового народження.
Цим питанням займалися такі видатні вчені як, Ейлер, Ферма, Б. Паскаль.