1. Логарифмічні рівняння

Логарифмічним називають рівняння, що містить невідому під знаком логарифму або в його основі.
Приклад:
log52x−3=7;log7−x18=12+6x.
Основні методи розв'язування логарифмічних рівнянь.
  
Вирізняють декілька видів логарифмічних рівнянь. В залежності від виду підбирають метод розв'язання.
 
1. Використання означення логарифму.
Застосовують для розв'язання найпростіших логарифмічних рівнянь.
Найпростішим логарифмічним рівнянням називають рівняння виду  logax=b.
Приклад:
log2(x+6)=5,   ОДЗ:x+6>0.За означенням логарифму  x+6=25,⇒x=26.Виконаємо перевірку:log2(36+6)=5,log232=5.
2. Метод потенціювання.
Потенціювання передбачає перехід від логарифма заданого рівняння до його алгебраїчної форми, якщо ми маємо рівність логарифмічних виразів з рівними основами.
Приклад:
log5x2+2=log5x⋅x−4,      ОДЗ:x2+2>0,x⋅x−4>0.x2+2=x⋅x−4,x2+2−x2=−4x,x=−0.5.Виконаємо перевірку:log5−0,52+2=log5−0,5⋅−0,5−4,log52,25=log52,25.
 
3. Метод зведення до однієї основи.
Для зведення логарифмів до однієї основи використовують властивості степеня логарифма основи loganx=b,⇔1nlogax=b
 і правила переходу до нової основи logab=1logbailogab=logcblogca.
Приклад:
log8x+33=logx+32,        ОДЗ:x+3>0,x+3≠1.log23x+33=1log2x+3,13log2x+33⋅log2x+3=1,log22x+3=1;⇒log2x+3=1,log2x+3=−1;x1=−1,x2=−2.5.Після перевірки втановлюємо, що обидва корені задовільняють умові рівняння.
 
4. Зведення до квадратного.
Застосовують до логарифмічних рівнянь, що мають структуру квадратного. За допомогою алгоритмів розв'язання квадратного рівняння знаходимо значення логарифму, а потім значення невідомого.
Приклад:
log52x−4⋅log5x+3=0,              ОДЗ:x>0.log5x1+log5x2=4,log5x1⋅log5x2=3.⇒log5x1=1,log5x2=3;x1=5,x2=125.Відповідь:x1=5,x2=125.
Попередня тема
Повернутись до теми
Наступна теорія
Copyright © 2024 МiйКлас