Перед тим, як почати докладне ознайомлення з формулами перетворення тригонометричних виразів пояснимо, для чого взагалі потрібні перетворення тригонометричних виразів.
Справа в тому, що дуже часто тригонометричні вирази навіть самого «страхітливого» виду після нескладних перетворень досить легко зводяться до виразів з табличним значенням аргументу - таким, наприклад, як: ... або до таких виразів, розв'язок яких знайти набагато простіше, ніж розв'язок вихідного тригонометричного виразу.
У цьому і полягає основна мета перетворення тригонометричних виразів - звести заданий вираз до такого виду, щоб знайти його розв'язок було простіше.
А засобом для досягнення цієї мети - її «інструментом» - і є формули перетворення тригонометричних виразів,
знайомство з якими ми почнемо з вивчення найбільш важливих з них - формул додавання.
Саме ці формули вважаються основними і найбільш важливими формулами перетворення тригонометричних виразів, оскільки з цих формул без особливих зусиль виводяться практично всі формули тригонометрії.
Доказ самих формул синуса і косинуса суми аргументів технічно досить складний і він не входить в базовий курс навчання.
Примітка. Для стислості та спрощення надалі виключимо слово «аргументів» з назв формул - це загальноприйнята практика - і кажучи про формули синуса або косинуса суми (різниці) будемо розуміти, що це формули синуса або косинуса суми (різниці) аргументів цих функцій.
Формула синуса суми: (1)
Формула косинуса суми: (2)
Розглянемо тепер вираз в такому вигляді і скористаємося формулою синуса суми (1): .
Тепер згадаємо про властивість парності функції косинус:
і властивості непарності функції синус: .
Тоді :
Формула синуса різниці: (3)
і властивостями парності функції косинус:
і непарності функції синус:
Тоді отримаємо:
Формула косинуса різниці: (4)