Обчислення границь послідовностей

Формули обчислення границь послідовностей:

1. $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

2. $\lim_{n \to \infty} q^{n} = 0, |q| < 1$

3. $\lim_{n \to \infty} C = C$ , тобто границя стаціонарної послідовності дорівнює значенню будь-якого члена послідовності.

4. Якщо $\lim_{n \to \infty} x_{n} = b$ , $\lim_{n \to \infty} y_{n} = c$ , тоді

4.1. границя суми дорівнює сумі границь:

$\lim_{n \to \infty} (x_{n} + y_{n}) = b + c$ ,

4.2. границя добутку дорівнює добутку границь:

$\lim_{n \to \infty} (x_{n} \cdot y_{n}) = b \cdot c$ ,

4.3. границя частки дорівнює частці границь:

$\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}} = \frac{b}{c}$ , якщо $c \neq 0$ ,

4.4. постійний множник можна винести за знак границі:

$\lim_{n \to \infty} k x_{n} = kb$ .

5. Для будь-якого натурального показника $m$ і будь-якого коефіцієнта $k$ справедливе співвідношення $\lim_{n \to \infty} \frac{k}{n^{m}} = 0$ .

Приклад:

1. Знайти границю послідовності:

$x_{n} = \frac{2}{n} - \frac{5}{n^{2}} + 3$

Застосувавши правило «границя суми», отримаємо:

$\lim_{n \to \infty} (\frac{2}{n} - \frac{5}{n^{2}} + 3) = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} - \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^{2}} + \lim_{n \to \infty} 3 = 0 - 0 + 3 = 3 \underset{}{}$

2. Обчислити $\lim_{n \to \infty} \frac{2 n^{2} + 3}{n^{2} + 4}$

У подібних випадках застосовують штучний прийом: ділять чисельник і знаменник дробу почленно на найвищу з наявних степенів змінної $n$ . У даному прикладі поділимо чисельник і знаменник дробу почленно на $n^{2}$ . Отримаємо:

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n^{2}}{n^{2}} + \frac{3}{n^{2}}}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{4}{n^{2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{n^{2}}}{1 + \frac{4}{n^{2}}} =$

Далі скористаємося правилом «границя дробу (частки)»:

$= \frac{2 + 0}{1 + 0} = \frac{2}{1} = 2$

Отже: $\lim_{n \to \infty} \frac{2 n^{2} + 3}{n^{2} + 4} = 2$ .

Попередня теорія

Повернутись до теми

Наступне завдання

Відправити відгук

Знайшли помилку?

Розкажіть нам!

3. Обчислення границь послідовностей

Теорія: