Невизначеності зі степенями — урок. Алгебра, 10 клас.

Потрібно обчислити границю

\lim_{x \to a} {g (x)}^{h (x)}

У такому випадку можливі 3 варіанти:

1. обидві функції

g (x)

h (x)

наближуються до нуля - невизначеність

0^{0}

;

2. функція

g (x)

наближується до нескінченності, а функція

h (x)

наближується до нуля - невизначеність

\infty^{0}

;

3. функція

g (x)

наближується до одного, а функція

h (x)

наближується до нескінченності - невизначеність

1^{\infty}

У цих випадках потрібно використовувати перетворення

{\lim_{x \to a} g (x)}^{h (x)} = e^{\lim_{x \to a} (h (x) \cdot \ln g (x))}

, обчислити границю, що знаходиться в показнику степеня (справляючись з невизначеністю

0 \cdot \infty

) і тоді підносити до степеня.

Приклад:

1. Невизначеність

0^{0}

\begin{array}{l} \lim_{x \to + 0} x^{x} = e^{\lim_{x \to + 0} (x \ln x)} = ... \\ \lim_{x \to + 0} x \ln x = \lim_{x \to + 0} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = (\frac{0}{0}) = \lim_{x \to + 0} \frac{(\ln x)'}{{(\frac{1}{x})}^{'}} = \\ = \lim_{x \to + 0} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}} = \lim_{x \to + 0} - x = 0 \\ \lim_{x \to + 0} x^{x} = e^{\lim_{x \to + 0} (x \ln x)} = e^{0} = 1 \end{array}

2. Невизначеність

1^{\infty}

\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{\frac{1}{x - \sin x}} = e^{\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x - \sin x}} = ... \\ \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x - \sin x} = (\frac{0}{0}) = \lim_{x \to 0} \frac{(\ln (1 + x))'}{(x - \sin x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x}}{1 - \cos x} = (\frac{1}{+ 0}) = + \infty \\ \lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{\frac{1}{x - \sin x}} = (e^{+ \infty}) = + \infty \end{array}

3. Невизначеність

\infty^{0}

\begin{array}{l} \lim_{x \to + 0} {(- \ln x)}^{x} = e^{\lim_{x \to + 0} (x \ln (- \ln x))} = ... \\ \lim_{x \to + 0} (x \ln (- \ln x)) = \lim_{x \to + 0} \frac{\ln (- \ln x)}{\frac{1}{x}} = (\frac{0}{0}) = \lim_{x \to + 0} \frac{(\ln (- \ln x))'}{{(\frac{1}{x})}^{'}} = \\ = \lim_{x \to + 0} \frac{\frac{1}{- \ln x} \cdot (- \frac{1}{x})}{- \frac{1}{x^{2}}} = \lim_{x \to + 0} (- \frac{x}{\ln x}) = - \lim_{x \to + 0} \frac{x}{\ln x} = (\frac{0}{0}) = \\ = - \lim_{x \to + 0} \frac{x'}{(\ln x)'} = - \lim_{x \to + 0} \frac{1}{\frac{1}{x}} = - \lim_{x \to + 0} x = 0 \\ \lim_{x \to + 0} {(- \ln x)}^{x} = e^{0} = 1 \end{array}

Знайшли помилку?

6. Невизначеності зі степенями