Геометричний зміст похідної — урок. Алгебра, 10 клас.

Похідна функції в точці

x_{0}

дорівнює коефіцієнту напрямку дотичної функції \(f(x)\) в точці

(x_{0}; f (x_{0}))

Доведення.

Дотична графіка функції в точці

M_{0}

описується, як пряма, до якої спрямована пряма

M M_{0}

, якщо точка

M

переміщається за графіком функції, прямуючи до точки

M_{0}

. Позначимо точку

M_{0}

, як

(x_{0}; f (x_{0}))

(див. рисунок).

Коефіцієнт напрямку прямої

M M_{0}

дорівнює тангенсу кута

∢ M M_{0} N

k_{M M_{0}} = tg ∢ M M_{0} N = \frac{MN}{M_{0} N} = \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}

Наближення точки

M

до точки

M_{0}

- те ж саме, що наближення приросту аргументу

Δ x

до нуля.

Нарешті, використовуючи визначення похідної, отримуємо, що коефіцієнт напрямку дотичної дорівнює похідній функції у відповідній точці.

k = \lim_{M \to M_{0}} k_{M M_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} = f' (x_{0})

Знайшли помилку?

3. Геометричний зміст похідної