Використання правила Лопіталя — урок. Алгебра, 10 клас.

Правило Лопіталя для невизначеностей виду

\frac{0}{0}

Припустимо, що функції

f (x)

g (x)

визначені і мають похідні в деякому околі точки a (за винятком, може бути, самої точки a), до того ж

\lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} g (x) = 0

g' (x) \neq 0

Отже, якщо існує границя (кінцева або нескінченна) відношення похідних

\lim_{x \to a} \frac{f' (x)}{g' (x)}

, тоді існує і границя ділення функцій:

\lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \lim_{x \to a} \frac{f' (x)}{g' (x)}

Така ж теорема справедлива для невизначеності виду

\frac{\infty}{\infty}

Приклад:

\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = (\frac{0}{0}) = \lim_{x \to 0} \frac{(e^{x} - 1)'}{x'} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{1} = e^{0} = 1

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = (\frac{0}{0}) = \lim_{x \to 0} \frac{(\sin x)'}{x'} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1

Знайшли помилку?

4. Використання правила Лопіталя