Тригонометричні рівняння — урок. Алгебра, 10 клас.

Тригонометричне рівняння — рівняння, що містить невідоме під знаком тригонометричної функції.

Основні методи розв'язання тригонометричних рівнянь.

1. Метод розкладання на множники.

Якщо рівняння

f (x) = 0

вдається перетворити до вигляду

f_{1} (x) \cdot f_{2} (x) = 0

, тоді

f_{1} (x) = 0

, або

f_{2} (x) = 0

У подібних випадках завдання зводиться до розв'язання сукупності рівнянь:

f_{1} (x) = 0

;

f_{2} (x) = 0

Приклад:

Розв'язати рівняння методом розкладання на множники

(\sin x - \frac{1}{3}) (\cos x + \frac{2}{5}) = 0

Задача зводиться до розв'язання сукупності рівнянь:

\sin x = \frac{1}{3}; \cos x = - \frac{2}{5}

З цих рівнянь знаходимо:

x = {(- 1)}^{k} \arcsin \frac{1}{3} + π k, k \in ℤ; x = \pm \arccos (- \frac{2}{5}) + 2 π k, k \in ℤ

Зверни увагу!

Врахуй, що перехід від рівняння

f_{1} (x) \cdot f_{2} (x) = 0

до сукупності рівнянь

f_{1} (x) = 0

;

f_{2} (x) = 0

не завжди безпечний.

Приклад:

Розглянемо рівняння

tg x (\sin x - 1) = 0

З рівняння

tg x = 0

знаходимо:

x = π k, k \in ℤ

З рівняння

\sin x = 1

знаходимо:

x = \frac{π}{2} + 2 π k, k \in ℤ

Але включити обидва розв'язки у відповідь не можна, оскільки при значеннях

x = \frac{π}{2} + 2 π k, k \in ℤ

, що входять в задане рівняння, множник

tg x

не має змісту, тобто значення

x = \frac{π}{2} + 2 π k, k \in ℤ

не належать області визначення рівняння, це сторонні корені.

2. Метод введення нової змінної.

Приклад:

Розв'язати рівняння методом введення нової змінної

2 \sin^{2} x - 5 \sin x + 2 = 0

Введемо нову змінну

z = \sin x

, тоді рівняння можна записати, як

2 z^{2} - 5 z + 2 = 0

Знаходимо корені даного рівняння:

z_{1} = 2, z_{2} = \frac{1}{2}

. Отже, або

\sin x = 2

, або

\sin x = \frac{1}{2}

Рівняння

\sin x = 2

не має коренів, а з рівняння

\sin x = \frac{1}{2}

знаходимо:

x = {(- 1)}^{k} \arcsin \frac{1}{2} + π k, k \in ℤ; x = {(- 1)}^{k} \frac{π}{6} + π k, k \in ℤ

Знайшли помилку?

1. Тригонометричні рівняння